Somar, subtrair, multiplicar e dividir frações seguem quatro regras diferentes, e a que vale depende do que o enunciado pede. Com 3/10 e 1/5 saem 1/2, 1/10, 3/50 e 3/2, um por operação. Cada enunciado esconde uma das quatro, e suas palavras costumam dizer qual. A tabela as relaciona com a ferramenta que calcula cada uma e com um exemplo conferido; mais abaixo, um problema de farinha usa as quatro.
| O enunciado diz | Operação | Ferramenta | Exemplo |
|---|---|---|---|
| “no total”, “juntar”, “acrescentar” | Soma | Somar frações | 3/8 + 1/6 = 13/24 |
| “quanto sobra”, “diferença” | Subtração | Subtrair frações | 7/10 − 1/4 = 9/20 |
| “de”, “vezes”, “a metade de” | Multiplicação | Multiplicar frações | 3/4 × 2/9 = 1/6 |
| “quantas cabem”, “reparta em partes de” | Divisão | Dividir frações | 3/5 ÷ 1/10 = 6 |
| Um número misto como dado | A que o texto pedir | Números mistos | 1 1/4 × 4/5 = 1 |
| Várias operações seguidas | Combinadas | Expressões com frações | 2/3 + 1/6 × 6/5 = 13/15 |
As palavras orientam, mas o contexto manda: “a metade de 3/4” é um produto mesmo sem o sinal ×. Em caso de dúvida, confira o tamanho do resultado. Somar e multiplicar por um número maior que 1 aumenta; subtrair e multiplicar por uma fração própria diminui. Dividir por uma fração própria aumenta, que é o que mais surpreende. E a calculadora de frações faz qualquer uma das quatro com os passos à vista.
Um problema que usa as quatro operações
Exemplo resolvido: a farinha de uma padaria
Há 3 1/2 kg de farinha. Usam-se 3/4 kg numa massa. Do que sobra, gasta-se 2/5, e o resto é repartido em sacos de 1/4 kg. Quantos sacos completos saem?
- Passe o misto para imprópria. 3 1/2 = 7/2. Aqui ainda não há nenhuma operação, só uma mudança de escrita.
- Subtraia o que foi usado. 7/2 − 3/4 = 14/4 − 3/4 = 11/4 kg.
- Multiplique para achar o gasto. “Do que sobra” pede 2/5 de 11/4: 11/4 × 2/5 = 22/20 = 11/10 kg.
- Subtraia de novo. 11/4 − 11/10 = 55/20 − 22/20 = 33/20 kg.
- Divida pelo tamanho do saco. 33/20 ÷ 1/4 = 33/20 × 4 = 33/5 = 6,6.
Saem 6 sacos completos e sobra uma parte de outro, 0,6 de saco (3/20 kg).
Na conferência, 6 sacos pesam 6/4 = 3/2 kg, ou seja 30/20, e 33/20 − 30/20 = 3/20 kg, menos que um saco.
A ordem das operações foi marcada pelo texto, não por uma regra de prioridade: cada cálculo usou o resultado do anterior. Quando tudo vem numa só linha, em compensação, aplica-se a hierarquia da seção seguinte.
Quando reduzir, comparar ou ordenar em vez de operar
Reduzir, comparar e ordenar não são operações, porque nenhuma cria um valor novo. Reduzir 12/18 a 2/3 conserva o valor e convém ao final de qualquer conta, com a simplificação de frações. Comparar 3/7 e 2/5 com multiplicação cruzada dá 3 × 5 = 15 contra 2 × 7 = 14, então 3/7 é maior; a ferramenta para comparar frações resolve sem decimais e, com uma lista longa, ordenar frações as coloca da menor para a maior. Para escrever uma quantidade com outros termos, as frações equivalentes multiplicam em cima e em baixo pelo mesmo número, e achar o termo que falta completa uma igualdade. Se for preciso um valor intermediário, a fração entre duas frações o calcula.
Hierarquia das operações com frações
Com várias operações numa linha, resolvem-se primeiro os parênteses, depois os produtos e quocientes, e por fim somas e subtrações. Com as mesmas três frações o resultado muda conforme os parênteses: 2/3 + 1/6 × 6/5 = 2/3 + 1/5 = 13/15, mas (2/3 + 1/6) × 6/5 = 5/6 × 6/5 = 1. A calculadora de expressões com frações aplica essa prioridade e mostra cada passo, e as frações complexas cobrem o caso em que o numerador ou o denominador são expressões completas.
Outros erros da mesma família, como somar denominadores, têm sua explicação em por que não se somam os denominadores e na lista de erros comuns ao operar com frações. Para a soma e a subtração com denominadores diferentes, o denominador comum sai do MMC; o guia sobre quando usar o MDC ou o MMC esclarece qual dos dois é necessário.
Praticar cada operação
Depois de ler a regra, convém resolver várias contas seguidas com as respostas à mão. Com o gerador de exercícios monta-se uma folha própria, escolhendo a operação e o nível, com as soluções para imprimir. As folhas com as quatro operações misturadas obrigam a decidir antes de calcular, que é justamente a habilidade da tabela acima. Para problemas com solução e conferência, veja os exercícios resolvidos de frações.
O que aprender a seguir
Se muda a escrita do número, as conversões de frações passam de fração para decimal, porcentagem ou número misto. Para entender por que existem o denominador comum e o divisor compartilhado, os fundamentos de divisibilidade explicam a base.