Observe qual termo falta, multiplique em diagonal os dois termos conhecidos e divida pelo terceiro. Se os termos não forem inteiros, use a calculadora de proporções; para gerar ou conferir frações equivalentes, sem procurar nenhum termo, há frações equivalentes. Essa receita vale nas quatro posições possíveis da incógnita; só muda qual produto vai em cima e qual termo divide.
Exemplo resolvido: 3/4 = x/20
Uma fração de 4 partes tem 3 sombreadas. Quantas partes sombreadas é preciso tomar se o inteiro for dividido em 20 partes iguais para cobrir a mesma área?
- Veja o denominador. Passa de 4 para 20, então multiplica-se por 20 ÷ 4 = 5.
- Aplique o mesmo fator ao numerador. 3 × 5 = 15.
- Confirme com a multiplicação cruzada. 3 × 20 = 60 e 4 × 15 = 60.
Resultado: x = 15, e 3/4 = 15/20.
Verificação: 15/20 se simplifica dividindo por 5 e volta a 3/4.
O fator só serve quando um denominador é múltiplo do outro. Quando não é, a multiplicação cruzada funciona do mesmo modo e não exige reconhecer o fator.
As quatro posições da incógnita
Em a/b = c/d, o termo que falta obtém-se multiplicando os dois termos que estão na diagonal um do outro e dividindo pelo termo que fica na diagonal da incógnita. A tabela mostra uma igualdade de cada tipo e o valor obtido; em todas, o resultado se verifica multiplicando em cruz.
| Falta | Igualdade | Isolamento | Exemplo |
|---|---|---|---|
| Numerador da primeira | x/b = c/d | x = b × c ÷ d | x/12 = 5/6 dá x = 10 |
| Denominador da primeira | a/x = c/d | x = a × d ÷ c | 2/x = 6/15 dá x = 5 |
| Numerador da segunda | a/b = x/d | x = a × d ÷ b | 5/8 = x/24 dá x = 15 |
| Denominador da segunda | a/b = c/x | x = b × c ÷ a | 2/5 = 8/x dá x = 20 |
Se a incógnita está em baixo, o isolamento muda qual produto se divide por qual termo, e é fácil trocá-los. Substitua sempre o valor na igualdade de partida para perceber o engano.
Sem solução inteira, sem solução ou infinitas
Às vezes a conta não cai num inteiro. Com 5/6 = x/8, a multiplicação cruzada dá 5 × 8 = 6 × x, ou x = 40/6 = 20/3. Esse número torna a igualdade verdadeira, mas não é um termo inteiro, então a calculadora responde que não há solução inteira. Para admitir um racional, use a calculadora de proporções.
Há mais dois casos, que vêm do zero. Em 0/x = 0/5, o lado esquerdo vale 0 para qualquer x diferente de zero, e a calculadora indica que há infinitas soluções. Em 2/x = 0/5 nenhum valor serve, porque 2/x nunca vale 0: surge a contradição 10 = 0.
Quando escolher outra ferramenta
A calculadora cobre uma única incógnita inteira. Se os termos forem decimais ou frações, a calculadora de proporções os aceita, e se x aparece em vários lugares, as equações com frações resolvem o caso. Para gerar uma lista de frações com o mesmo valor, use frações equivalentes, e para ver se uma fração já é irredutível, simplificar frações. Este tema costuma aparecer no ensino fundamental (anos finais, no Brasil) e no 2.º ciclo (em Portugal).
Perguntas frequentes
As frações precisam estar simplificadas antes de escrevê-las?
Não. Pode escrevê-las como estão, porque a multiplicação cruzada não depende de a fração ser irredutível. Em 15/25 = x/35 resulta x = 21, o mesmo valor que sai de 3/5 = x/35.
Como escrever e verificar um termo negativo?
Escreva o sinal de menos colado ao número. Em −11/x = 22/18 sai x = −9; para verificar, substitua: −11 × 18 = −198 e 22 × (−9) = −198, então a multiplicação cruzada coincide.
Serve para um problema com “em cada”?
Sim, desde que a razão possa ser escrita como fração. Se 4 em cada 9 pessoas de um grupo de 63 preferem chá, monta-se x/63 = 4/9 e obtém-se x = 28. Quando houver unidades ou grandezas inversas, a regra de três monta o problema de forma mais direta.