Regardez quel terme manque, multipliez en diagonale les deux termes que vous connaissez et divisez par le troisième. Si les termes ne sont pas entiers, utilisez la calculatrice de proportions ; pour générer ou vérifier des fractions égales sans chercher de terme, il y a les fractions équivalentes. Cette méthode fonctionne pour les quatre positions possibles de l’inconnue ; la seule chose qui change est le produit placé au numérateur et le terme par lequel on divise.
Exemple résolu : 3/4 = x/20
Une figure est partagée en 4 parts, dont 3 sont coloriées. Combien faut-il colorier de parts si on la partage en 20 parts égales pour couvrir la même surface ?
- Regardez le dénominateur. Il passe de 4 à 20 : on le multiplie par 20 ÷ 4 = 5.
- Appliquez le même coefficient au numérateur. 3 × 5 = 15.
- Confirmez avec les produits en croix. 3 × 20 = 60 et 4 × 15 = 60.
Résultat : x = 15, et 3/4 = 15/20.
Vérification : 15/20 se simplifie en divisant par 5 et redonne 3/4.
Le coefficient convient quand un dénominateur est multiple de l’autre. Quand ce n’est pas le cas, les produits en croix fonctionnent de la même façon et n’obligent pas à repérer le coefficient.
Les quatre positions de l’inconnue
Avec a/b = c/d, on obtient le terme manquant en multipliant les deux termes placés en diagonale l’un de l’autre, puis en divisant par le terme placé en diagonale de l’inconnue. Le tableau donne une égalité de chaque type et la valeur obtenue ; dans tous les cas, le résultat se vérifie par les produits en croix.
| Terme manquant | Égalité | Calcul de x | Exemple |
|---|---|---|---|
| Numérateur de la première | x/b = c/d | x = b × c ÷ d | x/12 = 5/6 donne x = 10 |
| Dénominateur de la première | a/x = c/d | x = a × d ÷ c | 2/x = 6/15 donne x = 5 |
| Numérateur de la seconde | a/b = x/d | x = a × d ÷ b | 5/8 = x/24 donne x = 15 |
| Dénominateur de la seconde | a/b = c/x | x = b × c ÷ a | 2/5 = 8/x donne x = 20 |
Si l’inconnue est en bas, le calcul change le produit que l’on divise et le terme par lequel on le divise, et il est facile de les intervertir. Remplacez toujours la valeur trouvée dans l’égalité de départ pour le repérer.
Sans solution entière, sans solution ou infinité de solutions
Parfois le calcul ne tombe pas sur un entier. Avec 5/6 = x/8, les produits en croix donnent 5 × 8 = 6 × x, soit x = 40/6 = 20/3. Ce nombre rend l’égalité vraie, mais ce n’est pas un terme entier : la calculatrice répond donc qu’il n’y a pas de solution entière. Pour accepter un nombre rationnel, utilisez la calculatrice de proportions.
Il y a deux autres cas, qui viennent tous deux du zéro. Dans 0/x = 0/5, le membre de gauche vaut 0 pour tout x non nul, et la calculatrice indique qu’il y a une infinité de solutions. Dans 2/x = 0/5, aucune valeur ne convient, car 2/x n’est jamais égal à 0 : on aboutit à la contradiction 10 = 0.
Quand choisir un autre outil
La calculatrice traite une seule inconnue entière. Si les termes sont des nombres décimaux ou des fractions, la calculatrice de proportions les accepte, et si x apparaît à plusieurs endroits, les équations avec des fractions les résolvent. Pour obtenir une liste de fractions de même valeur, utilisez les fractions équivalentes, et pour vérifier qu’une fraction est déjà irréductible, simplifier une fraction. OpenStax présente les produits en croix dans les proportions (en anglais).
Questions fréquentes
Les fractions doivent-elles être simplifiées avant de les saisir ?
Non. Saisissez-les telles qu’on vous les donne : les produits en croix ne dépendent pas du fait qu’elles soient irréductibles. Dans 15/25 = x/35, on obtient x = 21, et vous auriez trouvé la même valeur avec 3/5 = x/35.
Comment saisir et vérifier un terme négatif ?
Écrivez le signe moins collé au nombre. Dans −11/x = 22/18, on obtient x = −9 ; pour vérifier, vous remplacez : −11 × 18 = −198 et 22 × (−9) = −198, donc les produits en croix sont égaux.
Est-ce utile pour un problème du type « sur » ?
Oui, à condition que le rapport puisse s’écrire sous forme de fraction. Si 4 personnes sur 9 d’un groupe de 63 préfèrent le thé, vous posez x/63 = 4/9 et obtenez x = 28. Lorsqu’il y a des unités ou des grandeurs inversement proportionnelles, la règle de trois les pose plus directement.