Per x/12 = 3/4 si fanno i prodotti incrociati: 4 × x = 3 × 12, quindi x = 9. Due frazioni equivalenti hanno lo stesso valore; se in un’uguaglianza manca un numeratore o un denominatore, questa calcolatrice trova il termine intero quando esiste e verifica che i denominatori della frazione originale siano diversi da zero. Distingue tre casi: un valore unico, nessuna soluzione intera o infiniti denominatori interi diversi da zero.
Come usare la calcolatrice del termine mancante
- Scegli il termine mancante. In «Termine incognito» seleziona il numeratore o il denominatore della prima o della seconda frazione. Quel campo viene disattivato e rappresenta
x. - Inserisci i tre termini noti. Sono interi con segno di al massimo 100 cifre. L’esempio iniziale è
x/12 = 3/4; i pulsanti «Prova x/12 = 3/4» e «Prova 0/x = 0/5» compilano il modulo. - Premi «Calcola». Compare uno dei tre risultati: «Soluzione unica: x = 9» con «Verifica: 9/12 = 3/4.», «Infinite soluzioni» oppure «Nessuna soluzione intera».
Un denominatore noto uguale a zero viene rifiutato prima del calcolo. Se l’incognita è un denominatore, neppure il risultato può essere zero. Il modulo non accetta decimali, frazioni come singoli termini né un’equazione scritta su una riga: per termini razionali usa la calcolatrice delle proporzioni; se l’incognita compare in più termini, passa alle equazioni con frazioni.
Come si trova il termine mancante di due frazioni equivalenti?
Il termine mancante si trova con i prodotti incrociati: in a/b = c/d vale a × d = b × c, e si isola l’incognita. Per x/12=3/4, il termine mancante è il numeratore della prima frazione: 4x=12*3=36, quindi x=9. Sostituendo il valore, 9/12=3/4 conferma l’equivalenza. Il calcolo usa interi esatti, senza arrotondamenti.
x/12 = 3/4 = 9/12 → x = 9
| Termine mancante | Uguaglianza | Calcolo di x | Esempio |
|---|---|---|---|
| Numeratore della prima frazione | x/b = c/d | x = b × c / d | x/12 = 3/4 → x = 9 |
| Denominatore della prima frazione | a/x = c/d | x = a × d / c | 3/x = 1/4 → x = 12 |
| Numeratore della seconda frazione | a/b = x/d | x = a × d / b | 3/4 = x/20 → x = 15 |
| Denominatore della seconda frazione | a/b = c/x | x = b × c / a | 2/5 = 6/x → x = 15 |
Se la divisione finale non è esatta, non esiste un termine intero; se richiede di dividere per zero, il risultato è «Nessuna soluzione intera» oppure «Infinite soluzioni», a seconda del caso. Il fattore di amplificazione dà lo stesso risultato: in 3/4 = x/20, 20 ÷ 4 = 5, quindi x = 3 × 5 = 15.
Esempi svolti
Denominatore mancante. In 3/x=1/4, i prodotti incrociati danno 3*4=x*1, quindi x=12. Il risultato è valido perché 12 è un intero diverso da zero, e la verifica è 3/12 = 1/4.
3 × 4 = x × 1 → x = 12; 3/12 = 1/4
Problema di classe. Se 2 alunni su 5 vengono in bicicletta e la classe conta 30 alunni, x/30 = 2/5 dà 5 × x = 60 e x = 12. Dodici alunni su trenta rispettano lo stesso rapporto di 2 su 5.
Soluzione non intera. In x/2=1/3, i prodotti incrociati portano a 3x=2, cioè x=2/3. Questa è una soluzione razionale, ma non un termine intero: perciò il risultato è «Nessuna soluzione intera».
x/2 = 1/3 → 3x = 2 → x = 2/3, non è intero
Numeratore nullo. In x/5 = 0/3, 3 × x = 0, quindi x = 0: un numeratore può valere zero, perché entrambe le frazioni valgono zero e i loro denominatori restano validi.
Quando il risultato non è unico?
Quando i due membri sono sempre uguali con la condizione x ≠ 0, lo strumento indica l’insieme dei valori ammessi invece di scegliere un numero arbitrario. Quando nessun valore rende vera l’uguaglianza, indica che non c’è soluzione.
| Equazione e condizione | Risultato | Verifica |
|---|---|---|
x/12 = 3/4 | Soluzione unica: x = 9 | 4x = 36; 9/12 = 3/4 conferma l’uguaglianza. |
0/x = 0/5x ≠ 0 | Infinite soluzioni: ogni intero x diverso da zero. | Entrambi i membri valgono 0; x = 0 è escluso come denominatore. |
2/x = 0/5x ≠ 0 | Nessuna soluzione. | Per ogni x ≠ 0, 2/x ≠ 0. |
I prodotti incrociati applicati senza tornare all’uguaglianza iniziale possono lasciar passare falsi candidati. Per esempio, 1/2 = 0/x porterebbe a x = 0, ma quel valore rende inesistente la frazione di destra; nessuna soluzione ammessa viene quindi accettata.
Quando usarla e quando no?
Usala per completare un’uguaglianza tra due frazioni con termini interi, come negli esercizi sulle frazioni equivalenti o sulle «frazioni da completare». Questa pagina non è un risolutore generale di equazioni; scegli un altro strumento in questi casi:
- Termini noti decimali o frazionari: la calcolatrice delle proporzioni li accetta.
- Elenco di frazioni uguali a una frazione data: le frazioni equivalenti.
- Incognita presente in più termini: le equazioni con frazioni.
OpenStax (in inglese) presenta i prodotti incrociati nelle proporzioni (in inglese).
Domande frequenti
Come si usa la calcolatrice del termine mancante?
In «Termine incognito» scegli la posizione di x, inserisci gli altri tre termini come numeri interi e premi Calcola. Il campo scelto viene disattivato e rappresenta x. Per x/12 = 3/4 ottieni Soluzione unica: x = 9 e la riga «Verifica: 9/12 = 3/4.».
Posso spostare l’incognita senza cancellare tutto?
Sì. Seleziona la nuova posizione di x: quel campo si disattiva e gli altri tre restano da compilare. Rileggi i valori già inseriti prima di calcolare di nuovo, perché cambiare posizione cambia l’equazione. Per esempio, 3/4 = 15/x dà x = 20.
Posso inserire decimali o frazioni come termini noti?
No: ogni termine noto deve essere un intero con segno, senza virgola né linea di frazione. Per dati decimali, come 1,5/x = 3/4, usa la calcolatrice delle proporzioni, che accetta termini razionali e dà x = 2. In alternativa moltiplica prima per 10 per lavorare con interi.
La calcolatrice accetta termini negativi?
Sì, i tre termini noti possono essere negativi. In 3/x = −1/4 i prodotti incrociati danno 3 × 4 = −1 × x, quindi x = −12. La verifica 3/−12 = −1/4 è corretta, perché il segno meno può stare al numeratore o al denominatore.
Come si trova il numero mancante in due frazioni uguali?
Fai i prodotti incrociati e isola x: in 2/5 = x/15, 2 × 15 = 5 × x, quindi x = 6. Se un denominatore è multiplo dell’altro basta il fattore di amplificazione: 15 ÷ 5 = 3 e 2 × 3 = 6. Per ottenere altre scritture dello stesso valore, usa le frazioni equivalenti.
Che cos’è l’uguaglianza dei prodotti incrociati?
È la proprietà per cui due frazioni a/b e c/d, con b e d diversi da zero, sono uguali esattamente quando a × d = b × c. Per 9/12 e 3/4, 9 × 4 = 36 e 12 × 3 = 36: sono quindi uguali. Isolando x in questa uguaglianza si ottiene il termine mancante.
Come si trova un denominatore mancante?
Come per il numeratore, ma x sta dall’altra parte: in 3/x = 1/4, 3 × 4 = x × 1, quindi x = 12. Poi bisogna controllare che il risultato non sia zero. Se il numeratore noto vale 0, come in 0/x = 2/5, nessun denominatore funziona.
Come si controlla che due frazioni siano uguali?
Fai i prodotti incrociati oppure riduci entrambe le frazioni ai minimi termini. 6/15 e 2/5 sono uguali, perché 6 × 5 = 15 × 2 = 30 e perché 6/15 diventa 2/5 dividendo per 3. La calcolatrice per semplificare le frazioni mostra questa riduzione.
Perché la calcolatrice non accetta un valore frazionario per x?
Perché questo strumento cerca un numeratore o un denominatore intero. Per x/2 = 1/3, x = 2/3 rende vera l’uguaglianza tra razionali, ma non è un termine intero: il risultato è «Nessuna soluzione intera». Per accettare un x razionale, usa la calcolatrice delle proporzioni.
Un denominatore mancante può valere zero?
No. Un denominatore deve essere diverso da zero, anche quando un’equazione trasformata suggerisce quel valore. Se il calcolo di un denominatore dà 0, lo strumento lo scarta e mostra «Nessuna soluzione intera». Per esempio, 1/2 = 0/x porterebbe a x = 0, che non è una soluzione ammessa.
Che cosa significa «Infinite soluzioni» per due frazioni equivalenti?
Significa che ogni intero diverso da zero rende vera l’uguaglianza. In 0/x = 0/5 il primo membro vale 0 per qualunque denominatore ammesso: x può valere 1, 7 o −3. Lo strumento non sceglie un numero a caso; indica che il denominatore può essere qualsiasi intero diverso da zero.
Perché 2/x = 0/5 non ha soluzione?
Perché 2/x non vale mai zero: un numeratore diverso da zero dà sempre una frazione diversa da zero. I prodotti incrociati trasformano 2 × 5 = 0 × x in 10 = 0, una contraddizione. Lo strumento mostra quindi Nessuna soluzione intera invece di inventare un valore.
Il termine mancante può essere zero?
Sì, se è un numeratore. In x/12 = 0/5 i prodotti incrociati danno 5 × x = 0, quindi x = 0, e 0/12 = 0/5 è vero. Un denominatore invece non può mai valere zero, anche se un calcolo lo suggerisce.
Che cosa fare se l’incognita compare in più termini?
Questo strumento risolve una sola incognita in un solo termine. Per un’uguaglianza come x/2 = (x + 1)/3, dove x compare in entrambi i membri, usa la calcolatrice delle equazioni con frazioni: i prodotti incrociati danno 3x = 2x + 2, quindi x = 2.
Come si usa il termine mancante in un problema concreto?
Scrivi l’uguaglianza tra il rapporto noto e quello che contiene l’incognita. Se in una classe di 30 alunni 2 su 5 vengono in bicicletta, x/30 = 2/5 dà x = 12 alunni. Per un calcolo con unità di misura, la regola del tre imposta lo stesso prodotto incrociato.