Come si risolve un’equazione con frazioni?
Un’equazione con frazioni si risolve eliminando i denominatori, risolvendo l’equazione che si ottiene e scartando i candidati che annullano un denominatore iniziale. La calcolatrice segue lo stesso metodo che si usa a mano con le equazioni fratte:
- Scrivere le condizioni di esistenza, cioè i valori che annullano un denominatore.
- Moltiplicare per un denominatore comune per eliminare i denominatori.
- Risolvere l’equazione ottenuta, di primo o di secondo grado.
- Scartare i candidati esclusi e verificare gli altri nell’equazione iniziale.
Ogni soluzione candidata viene controllata rispetto alle esclusioni iniziali prima di essere mostrata. I calcoli usano frazioni esatte, senza valori approssimati; una radice irrazionale resta scritta con √.
2x · (1/x) = 2x · (1/2) → 2 = x → x = 2; verifica: 1/2 = 1/2
Come usare il risolutore di equazioni con frazioni
- Scrivi l’uguaglianza nel campo «Equazione in x», per esempio
1/x=1/2. - Aggiungi le parentesi attorno alle somme al numeratore o al denominatore:
(x^2-1)/(x-1)=2confronta l’intero quoziente con 2. - Scrivi il segno di moltiplicazione:
2*xo2×x, non2x. - Premi Calcola. La prima riga mostra «Soluzioni reali esatte: 2», «Nessuna soluzione reale ammissibile.» oppure «Identità: tutti i valori reali di x che rispettano le restrizioni.». Seguono «Numeratore dopo l’eliminazione dei denominatori: -1/2x+1 = 0» e «Restrizioni originali: (x) ≠ 0».
Ogni membro accetta gli operatori +, -, *, /, ^, le parentesi, le frazioni e i decimali finiti con la virgola o il punto. Il segno meno si può scrivere - oppure −. Un calcolo lungo si può interrompere con «Annulla».
Equazioni accettate e limiti
La calcolatrice accetta una sola uguaglianza in x il cui numeratore, dopo l’eliminazione dei denominatori, è nullo o di grado 0, 1 o 2. I denominatori di ogni espressione possono arrivare al grado 8 dopo lo sviluppo.
| Ammesso | Non ammesso |
|---|---|
Un’uguaglianza con un solo = |
Due segni di uguale, disequazioni (<, >) o sistemi |
Una variabile, x |
Un’altra lettera o più incognite |
| Grado 0, 1 o 2 dopo l’eliminazione dei denominatori | Grado 3 o più, come x^3=1 |
| Denominatori polinomiali fino al grado 8 | Radici, valori assoluti o esponenti frazionari |
| Soluzioni reali razionali e irrazionali | Soluzioni complesse |
Dopo la riduzione, numeratore e denominatore di ogni coefficiente razionale possono avere fino a 50 cifre; un numero inserito non può superare 100 cifre. Gli esponenti interi vanno da −100 a 100 e il calcolo è limitato a tre secondi. Per le disequazioni come 1/x > 2 consulta la guida sulle disequazioni con frazioni: richiedono lo studio del segno, non solo la soluzione di un’uguaglianza.
Esempi svolti di equazioni con frazioni
Denominatori numerici. x/2 + x/3 = 5: si moltiplica per 6, 3x + 2x = 30, quindi x = 6. Verifica: 3 + 2 = 5. Per un’uguaglianza tra due frazioni con un solo termine incognito, come 3/4 = x/20, basta il calcolatore del termine mancante, che dà x = 15.
Due soluzioni. x + 1/x = 5/2: con x ≠ 0 si ottiene 2x² − 5x + 2 = 0, quindi x = 2 oppure x = 1/2; vanno bene entrambe. Verifica per x = 2: 2 + 1/2 = 5/2.
Soluzioni irrazionali. 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 1: si moltiplica per x² − 1, (x + 1) + (x − 1) = x² − 1, cioè x² − 2x − 1 = 0, quindi x = 1 ± √2. Nessuna annulla x − 1 o x + 1: sono accettabili entrambe. La calcolatrice le mostra con la formula risolutiva non semplificata, che contiene √(8); poiché √8 = 2√2, il risultato è lo stesso.
Tre risultati possibili
| Equazione e restrizione originale | Verifica e risultato |
|---|---|
| 1/x = 1/2 x ≠ 0 | Soluzione ammissibile: x = 2. Sostituendo nell’equazione iniziale si ottiene 1/2 = 1/2. |
| (x² − 1)/(x − 1) = 2 x ≠ 1 | Candidato escluso: x = 1. Nel dominio ammesso l’equazione si riduce a x + 1 = 2 e dà x = 1. Questo valore annulla il denominatore iniziale, quindi non ci sono soluzioni ammissibili. |
| 1/x = 1/x x ≠ 0 | Identità. È vera per ogni numero reale x ≠ 0 e ha quindi infinite soluzioni. |
Perché bisogna verificare le soluzioni?
Perché moltiplicare per un’espressione in x può far comparire valori in cui l’equazione iniziale non esisteva. In x²/(x − 3) = 9/(x − 3), eliminare il denominatore lascia x² = 9, con i candidati 3 e −3, ma x = 3 annulla x − 3.
Inserita così, questa equazione supera il limite di grado: senza semplificare, l’eliminazione dei denominatori porta al grado 3. Porta tutto in un membro: x^2/(x-3)-9/(x-3)=0. La calcolatrice riunisce la differenza in (x² − 9)/(x − 3) e la semplifica: resta x + 3 = 0, quindi x = −3, mentre x = 3 viene scartato perché annulla il denominatore. La guida sul dominio delle frazioni algebriche approfondisce questi valori esclusi.
Quando usare questa calcolatrice e quando no?
Usala per risolvere e verificare equazioni fratte in un’incognita di primo e secondo grado, come quelle delle superiori, e per individuare le soluzioni non accettabili. Non è adatta in questi casi:
- Semplificare o trasformare un’espressione, senza segno di uguale: usa semplificare frazioni algebriche.
- Trovare un termine mancante tra due frazioni equivalenti, come 3/4 = x/20: usa il calcolatore del termine mancante.
- Risolvere una proporzione numerica o una regola del tre: usa le proporzioni.
- Equazioni di grado 3 o più, con più incognite o con soluzioni complesse: serve un altro metodo o un programma di calcolo simbolico generale.
Domande frequenti
Come si inserisce un’equazione con frazioni nella calcolatrice?
Scrivi tutta l’uguaglianza nel campo «Equazione in x», con un solo segno di uguale: 1/(x-1)=2. Metti tra parentesi ogni numeratore o denominatore con più termini e scrivi sempre il prodotto, 2×x o con l’asterisco della tastiera, mai 2x. Premi Calcola: compaiono le soluzioni e le restrizioni originali.
Come si risolve un’equazione fratta con la x al denominatore?
Inseriscila così com’è: la calcolatrice annota prima il valore escluso. Per 1/(x-1)=2 il denominatore impone x ≠ 1. Moltiplicando per x − 1 si ottiene 1 = 2x − 2, quindi x = 3/2. Poiché 3/2 è diverso da 1, la soluzione è accettabile: 1/(3/2 − 1) = 1/(1/2) = 2.
La calcolatrice risolve le equazioni di primo grado con le frazioni?
Sì, è il caso più semplice. Per (2x + 1)/3 = (x − 1)/2 moltiplica per 6: 2(2x + 1) = 3(x − 1), cioè 4x + 2 = 3x − 3, e x = −5. Verifica: (−10 + 1)/3 = −3 e (−5 − 1)/2 = −3. Non ci sono valori esclusi, perché i denominatori sono numeri.
Che cosa fare se l’equazione viene rifiutata per il grado?
Porta tutto in un solo membro, così si semplifica prima. x²/(x − 3) = 9/(x − 3) viene rifiutata, perché eliminando i denominatori senza semplificare si arriva al grado 3. Scritta x^2/(x-3)-9/(x-3)=0, la differenza si riduce a x + 3 e la soluzione è x = −3; x = 3 resta escluso.
Basta risolvere l’equazione dopo aver eliminato i denominatori?
No. Moltiplicare per un’espressione che contiene x può produrre candidati nei punti in cui l’equazione iniziale non era definita. Le condizioni sui denominatori e il controllo finale fanno quindi parte della soluzione: un valore che annulla un denominatore iniziale non è mai soluzione, anche se soddisfa l’equazione semplificata.
Come riconosce la calcolatrice una soluzione non accettabile?
Sostituisce ogni candidato nei denominatori iniziali e scarta quello che ne annulla uno. In x/(x − 2) = 2/(x − 2), moltiplicare per x − 2 dà x = 2, valore che annulla il denominatore. La calcolatrice lo scarta e risponde «Nessuna soluzione reale ammissibile.», perché nessun altro candidato resta.
Quando si può moltiplicare in croce in un’equazione?
Quando l’equazione uguaglia una frazione a un’altra e i due denominatori sono diversi da zero. In (x + 1)/(x − 2) = (x − 1)/(x + 2) il prodotto in croce dà x² + 3x + 2 = x² − 3x + 2, quindi 6x = 0 e x = 0. Poiché 0 non annulla né x − 2 né x + 2, la soluzione è accettabile.
Come si risolve un’equazione con frazioni che diventa di secondo grado?
Elimina i denominatori e risolvi l’equazione di secondo grado. In x + 1/x = 5/2, moltiplicare per 2x dà 2x² − 5x + 2 = 0, che si scompone in (2x − 1)(x − 2) = 0. Le soluzioni sono x = 1/2 e x = 2; vanno bene entrambe, perché l’unico valore escluso è x = 0.
Come si legge una soluzione che contiene √(8)?
È una radice irrazionale ottenuta con la formula risolutiva, senza semplificazioni. Per 1/(x-1)+1/(x+1)=1 i coefficienti sono −1, 2 e 1, e la formula dà (−2 ± √8)/(−2). Poiché √8 = 2√2, le soluzioni sono x = 1 − √2 e x = 1 + √2. Nessuna vale 1 o −1.
Che cosa significa il risultato «Identità»?
Significa che l’uguaglianza è vera per tutti i valori ammessi di x. Per esempio 1/x = 1/x vale per ogni x ≠ 0 e (x + 1)/(x + 1) = 1 per ogni x ≠ −1. La calcolatrice mostra «Identità: tutti i valori reali di x che rispettano le restrizioni.» e conserva l’elenco delle restrizioni, perché i valori esclusi non sono soluzioni.
Perché la calcolatrice risponde «Nessuna soluzione reale ammissibile»?
Per uno di tre motivi. L’equazione può essere impossibile, come x = x + 1; l’unico candidato può annullare un denominatore, come in (x² − 1)/(x − 1) = 2; oppure l’equazione di secondo grado può avere discriminante negativo, come x² = −1. In tutti e tre i casi nessun numero reale la soddisfa.
Che cosa mostra la riga «Numeratore dopo l’eliminazione dei denominatori»?
Mostra il polinomio che si ottiene portando tutto in un membro ed eliminando i denominatori, uguagliato a zero. Per 1/x = 1/2 la riga è -1/2x+1 = 0, cioè 1 − x/2 = 0, la cui radice è x = 2. Serve a controllare il passaggio intermedio fatto a mano.
La calcolatrice risolve equazioni di terzo grado o superiore?
No. Se dopo l’eliminazione dei denominatori resta un polinomio di grado 3 o più, la calcolatrice rifiuta l’equazione invece di dare una risposta incompleta. Per esempio x^3 = 1 non viene accettata. Portare tutto in un membro a volte permette di semplificare un fattore comune, come per x²/(x − 3) = 9/(x − 3).
La calcolatrice dà soluzioni complesse?
No. Cerca solo soluzioni reali. Se l’equazione di secondo grado ha discriminante negativo, come x² + 1 = 0, risponde che non c’è alcuna soluzione reale ammissibile. In un corso sui numeri complessi le soluzioni x = i e x = −i si trovano a parte.
Si può risolvere un sistema o un’equazione con due incognite?
No. Il campo accetta una sola uguaglianza e una sola variabile, x. Una seconda lettera, come y, o due segni di uguale nello stesso campo producono un messaggio di errore. Per i sistemi con frazioni, la guida sui sistemi di equazioni con frazioni mostra il metodo passo per passo.
Quale strumento usare per semplificare un’espressione o confrontare rapporti?
Per semplificare una singola espressione, senza uguaglianza, usa le frazioni algebriche, che conservano anche le restrizioni. Per un’uguaglianza tra rapporti numerici, come a/b = c/d senza x al denominatore, il calcolatore di proporzioni trova direttamente il termine incognito.