Una frazione algebrica è il quoziente di espressioni con una o più variabili, per esempio (x² − 1)/(x − 1). Prima di semplificare, annota quali valori rendono zero ogni denominatore iniziale. Puoi cancellare fattori comuni, ma non termini separati da una somma; inoltre, i valori esclusi dal denominatore originale restano esclusi anche se il fattore scompare.
Semplificare senza cambiare il dominio
Considera (x² − 9)/(x − 3). Il denominatore iniziale impone x ≠ 3. Scomponi il numeratore: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Per x diverso da 3, cancella il fattore comune x − 3 e ottieni x + 3, con x ≠ 3.
La formula x + 3 è definita anche per x = 3, ma non lo è la frazione di partenza, che lì avrebbe denominatore zero. La calcolatrice per semplificare frazioni algebriche riporta la forma ridotta insieme alle restrizioni dei denominatori originali.
| Espressione iniziale | Valore escluso | Forma ridotta valida |
|---|---|---|
| (x² − 9)/(x − 3) | x = 3 | x + 3, con x ≠ 3 |
| (x² − 4)/(x − 2) | x = 2 | x + 2, con x ≠ 2 |
| 1/x − 1/x | x = 0 | 0, con x ≠ 0 |
L’ultima riga mostra che anche il risultato zero conserva una restrizione. Per ogni x diverso da zero, 1/x − 1/x = 0; in x = 0, invece, l’espressione iniziale non esiste.
Perché non si cancellano i termini di una somma
Solo per x ≠ 3. Il fattore x − 3 moltiplica tutto il numeratore.
Per x ≠ 0, il denominatore divide entrambi i termini.
Errato: ridurre a 2. Con x = 3, (3 + 2)/3 = 5/3 ≠ 2.
La cancellazione si applica a fattori moltiplicati. Per esempio, 2(x + 2)/(2x) si riduce a (x + 2)/x perché il fattore 2 compare come moltiplicatore dell’intero numeratore e del denominatore; la condizione x ≠ 0 rimane.
Sommare e risolvere espressioni fratte
Per sommare 1/x + 1/(x − 2), registra prima x ≠ 0 e x ≠ 2. Il denominatore comune è x(x − 2):
1/x + 1/(x − 2) = (x − 2)/[x(x − 2)] + x/[x(x − 2)] = (2x − 2)/[x(x − 2)].
Con x = 3, l’espressione iniziale vale 1/3 + 1 = 4/3; la forma combinata dà (6 − 2)/(3 × 1) = 4/3. La verifica numerica conferma il passaggio senza cancellare le restrizioni.
Anche un’equazione richiede di controllare i candidati nel dominio iniziale. Risolvi (x² − 1)/(x − 1) = 2: il denominatore impone x ≠ 1 e la frazione si riduce a x + 1. L’equazione trasformata dà x = 1, ma quel valore è escluso; quindi l’equazione iniziale non ha soluzioni. In 1/x = 1/2, invece, x ≠ 0 e il candidato x = 2 è ammesso: sostituendolo si ottiene 1/2 = 1/2. Per risolvere uguaglianze di questo tipo usa equazioni con frazioni.
Esempi e strumenti correlati
- Fattore cancellato: (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 solo per x ≠ 2. Per x = 3 entrambi i membri valgono 5; per x = 2 la frazione originale non è definita.
- Somma non cancellabile: (x + 4)/x = 1 + 4/x per x ≠ 0. Con x = 2 vale 3, mentre con x = 4 vale 2: un valore coincidente non prova un’identità diversa.
- Scomposizione in termini più semplici: 1/[x(x + 1)] = 1/x − 1/(x + 1), con x ≠ 0 e x ≠ −1. È una scomposizione, non una cancellazione di fattori; la decomposizione in fratti semplici ricostruisce e verifica identità di questo tipo.
Gli strumenti algebrici hanno limiti di input e di grado. Se un’espressione non rientra nei casi supportati, non interpretare un risultato assente o incompleto come una semplificazione verificata.
Conserva il dominio originale a ogni passaggio
Prima di fattorizzare, annota i valori che annullano ciascun denominatore iniziale. Queste esclusioni appartengono al dominio originale e restano valide anche dopo aver cancellato un fattore. Perciò (x²−1)/(x−1) si semplifica in x+1 solo per x diverso da 1. Per x=1 l’espressione iniziale è 0/0 e non è definita.
Anche una sottrazione può mantenere una restrizione benché il risultato sembri banale: 1/x − 1/x = 0, ma l’uguaglianza è definita solo per x diverso da 0. La semplificazione non amplia gli ingressi ammessi. Per risolvere un’equazione, eliminare i denominatori produce candidati; sostituisci ciascuno nell’equazione originale e scarta i valori che annullano un denominatore iniziale.
Esempi con controllo dei candidati
- Fattore comune: (x²−1)/(x−1) = ((x−1)(x+1))/(x−1) = x+1, con x diverso da 1.
- Espressione nulla: 1/x − 1/x = 0 per x diverso da 0; x=0 resta escluso anche se il risultato semplificato è 0.
- Equazione valida: 1/x = 1/2 dà il candidato x=2; sostituendolo nell’equazione iniziale si conferma 1/2 = 1/2.
- Candidato escluso: (x²−1)/(x−1)=2 si riduce a x+1=2 per x diverso da 1. L’unico candidato è x=1, escluso; quindi l’equazione non ha soluzioni.
Gli strumenti algebrici del sito trattano una variabile e coefficienti razionali entro limiti dichiarati: la semplificazione accetta polinomi fino al grado 8; la risoluzione accetta denominatori fino al grado 8 e un numeratore liberato dai denominatori di grado al massimo 2. Non sostituiscono un sistema multivariabile né un risolutore generale di polinomi. Gli input fuori limite vanno segnalati come non supportati.