SOMMA, SOTTRAI, MOLTIPLICA E DIVIDI FRAZIONI
Ottieni un risultato esatto e segui ogni passaggio.
Scrivi le due frazioni, scegli l'operazione e ottieni il risultato già semplificato, con i passaggi: 3/4 − 1/6 dà 7/12. Per tre o più valori, o per un calcolo con le parentesi, cambia modalità: la tabella qui sotto ti dice quale scegliere.
Inserisci due frazioni per iniziare.
(1/2) + (1/3) = 5/6
Per riutilizzare il risultato, il numeratore e il denominatore devono avere al massimo 100 cifre ciascuno.
Decimali e numeri misti appaiono come frazioni esatte. Modifica i campi e gli operatori; il testo si aggiorna applicando, calcolando o chiudendo. La tastiera modifica il campo selezionato. Puoi scorrere le espressioni lunghe dentro questo editor.
Inserisci due frazioni per iniziare.
Moltiplica con 2(1/3) o (1/2)(3/4). Moltiplicazione e divisione si calcolano da sinistra a destra. Per decimali e numeri misti, usa × o le parentesi.
I nuovi calcoli restano solo in questa scheda, fino a 10 calcoli con i soli dati inseriti, senza risposte. La cronologia già salvata resta finché non la cancelli.
Nessun calcolo recente.
Somma di frazioni con denominatori diversi
Per sommare le frazioni, le parti devono avere la stessa dimensione. Un mezzo equivale a tre sesti e un terzo a due sesti.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
3 parti + 2 parti = 5 parti su 6
Oltre l’intero
Nove quarti corrispondono a due interi e un quarto. La frazione impropria 9/4 e il numero misto 2 1/4 hanno lo stesso valore.
9/4 = 4/4 + 4/4 + 1/4 = 2 1/4
4/4 + 4/4 + 1/4 = 9/4 = 2 1/4
Una misura concreta
Se aggiungi 3/4 di tazza di farina a 1/8 di tazza della stessa farina, ottieni 7/8 di tazza. Inserisci solo i numeri nella calcolatrice e aggiungi l’unità di misura al risultato.
3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8
Il numeratore conta le parti blu; il denominatore conta tutte le parti uguali. Moltiplicando entrambi i termini di 1/2 per 2 si ottiene 2/4. Dividendo quelli di 3/6 per 3 si ottiene 1/2. L’intero e la sua metà blu restano uguali.
1/2 = 2/4 = 3/6
GUIDA ALL’USO E AI CALCOLI
Questa calcolatrice di frazioni somma, sottrae, moltiplica e divide numeri razionali. Inserisci due frazioni nel modulo semplice, scegli «Numeri misti e decimali» per una lista di massimo venti operandi con una sola operazione, oppure seleziona «Espressione» per combinare più operazioni in un unico campo. Il risultato viene ridotto esattamente e i passaggi mostrano come si ottiene.
Per un calcolo con due frazioni, inserisci ciascun numeratore sopra il suo denominatore, scegli un’operazione e premi «Calcola». Il numeratore indica quante parti prendi; il denominatore indica in quante parti uguali è divisa l’unità. In 3/4, ogni parte vale un quarto dell’unità e ne prendi tre.
La modalità «Numeri misti e decimali» offre campi completi. Inserisci 1/2, -3, 0,25 o -1 1/2 in un unico campo; il segno del numero misto si applica a tutto il valore. Aggiungi campi fino a un massimo di venti operandi. Per esempio, 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 se scegli l’addizione. Questi campi ripetono una sola operazione; sottrazioni e divisioni procedono da sinistra a destra.
Per combinare più operazioni, scegli «Espressione» e inserisci il calcolo nell’unico campo. Si calcolano prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra e infine addizioni e sottrazioni; le parentesi cambiano il raggruppamento. Quindi 1/2 + 1/3 × 3/4 = 3/4, mentre (1/2 + 1/3) × 3/4 = 5/8. Il simbolo ^ accetta esponenti interi da −100 a 100; 0^0 non è definito. Per una spiegazione guidata e altri esempi, consulta la calcolatrice di espressioni con frazioni. Per gli errori più frequenti, leggi la guida agli errori comuni con le frazioni.
I link per semplificare, convertire e confrontare le frazioni aprono strumenti dedicati. In questa calcolatrice, «Usa il risultato» inserisce la frazione esatta come primo valore del calcolo successivo; inserisci il secondo valore prima di calcolare. Se il risultato supera il limite di 100 cifre per l’inserimento, il pulsante spiega perché non può essere riutilizzato.
Apri «Percentuale, arrotondamento e cronologia» per modificare la presentazione. La percentuale esprime il valore su cento: 1/2 equivale al 50%. «Cifre decimali» arrotonda solo la visualizzazione e conserva la frazione esatta. Per esempio, con due cifre decimali 1/3 viene mostrato come 0,33; la differenza esatta è 1/300. Se la cifra successiva è 5 e non ci sono altre cifre diverse da zero, l’arrotondamento si allontana da zero: 0,125 diventa 0,13 e −0,125 diventa −0,13.
«Il tuo risultato: barra e retta numerica» mostra le parti dell’unità e colloca il valore rispetto allo zero. Per risultati molto grandi viene mostrata una spiegazione al posto di una barra dettagliata. I passaggi descrivono la conversione, l’operazione e la riduzione pertinenti al calcolo.
Un risultato esatto conserva tutto il valore razionale. Per esempio, 2/4 e 1/2 rappresentano la stessa quantità perché dividendo per 2 numeratore e denominatore di 2/4 si ottiene 1/2. Per ridurre una frazione, dividi entrambi i termini per il loro massimo comune divisore (MCD). L’MCD di 2 e 4 è 2; quello di 1 e 2 è 1. Perciò 1/2 è irriducibile: i termini non hanno divisori comuni maggiori di 1.
La calcolatrice colloca il segno nel numeratore e mantiene positivo il denominatore. Quindi 2/−4 viene normalizzato in −1/2; i valori sono uguali. Lo zero viene mostrato come 0, sia che tu abbia inserito 0/7 sia che sia il risultato di 1/2 − 1/2. Questa normalizzazione offre una forma di riferimento coerente.
Una frazione propria, come 3/4, ha un numeratore il cui valore assoluto è minore di quello del denominatore. Una frazione impropria, come 5/4, rappresenta almeno un’unità in valore assoluto. Se un valore supera un’unità, può essere utile scriverlo anche come numero misto: 5/4 = 1 1/4. Per un valore negativo, −5/4 = −1 1/4. Per dividere per una frazione diversa da zero, usa il suo reciproco, detto anche inverso moltiplicativo: il reciproco di 2/3 è 3/2 e il loro prodotto vale 1. Lo zero non ha reciproco. La frazione impropria resta la forma esatta per proseguire i calcoli; la forma mista esprime le unità intere e la parte rimanente.
Le quattro operazioni partono dalla stessa idea: una frazione rappresenta una quantità, ma ogni operazione la trasforma in un modo preciso. Gli esempi seguenti mostrano i passaggi intermedi da confrontare con quelli della calcolatrice.
Regola: se i denominatori coincidono, somma i numeratori e mantieni la stessa grandezza delle parti. Riduci il risultato se possibile.
3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2
Se i denominatori sono diversi, cerca un denominatore comune. Il minimo comune multiplo (mcm) fornisce il più piccolo denominatore positivo condiviso; per esempio, 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Per sommare un intero, scrivilo con denominatore 1. Esercitati con la somma di frazioni.
Regola: porta i denominatori allo stesso valore e sottrai i numeratori nell’ordine indicato.
3/4 − 1/2 = 3/4 − 2/4 = 1/4
Il risultato può essere negativo: 1/2 − 3/4 = −1/4. Se esegui più sottrazioni, rispetta le parentesi e l’ordine. Segui una sottrazione passo dopo passo.
Regola: moltiplica tra loro i numeratori e tra loro i denominatori, poi riduci.
2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2
Puoi anche semplificare i fattori prima di moltiplicare: 2/3 × 9/10 = 18/30 = 3/5. Se un fattore vale zero, il prodotto è zero. Scopri la moltiplicazione di frazioni.
Regola: inverti solo il divisore, purché non sia zero, e moltiplica.
5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 5/4
Verifica: 5/4 × 2/3 = 5/6. Non dividere mai per zero, neppure per 0/7. Esercitati con la divisione di frazioni.
Il prodotto 2/3 × 3/4 occupa sei delle dodici parti uguali di un rettangolo unitario. Dividi prima l’unità in tre colonne e quattro righe. Seleziona due colonne per rappresentare 2/3 e tre righe per rappresentare 3/4. Le sei caselle in cui le selezioni si sovrappongono mostrano il prodotto: 6/12 = 1/2.
Il disegno non cambia la regola aritmetica: 2 × 3 = 6 e 3 × 4 = 12. Chiarisce perché, in questo esempio, il prodotto di due frazioni positive inferiori a uno è più piccolo di ciascun fattore. Questa conclusione non vale se moltiplichi per 3/2, che è maggiore di uno.
La frazione −1/4 si trova a sinistra di 0 e a destra di −1/2. Ogni intervallo della retta seguente misura 1/4: da −1/2 si procede a −1/4, poi a 0, quindi a 1/4 e infine a 1/2. Intervalli regolari permettono di confrontare i valori senza cambiarne il segno.
Il risultato 1/2 − 3/4 = −1/4 deriva dalla sottrazione 2/4 − 3/4. Sulla retta, parti da 1/2 e indietreggia di tre passi da 1/4; termini un passo a sinistra dello zero. Questo percorso aiuta a verificare il segno prima di leggere la forma decimale.
I campi semplici separano numeratore e denominatore e accettano interi con segno. La modalità avanzata raccoglie ogni valore in un unico campo, così puoi inserire frazioni, interi, decimali finiti o numeri misti. Il formato 0,25 rappresenta un quarto, come 0.25, purché tu usi un solo separatore decimale.
| Valore | Campi semplici | Modalità avanzata |
|---|---|---|
| Tre quarti | 3 sopra e 4 sotto | 3/4 |
| Intero negativo −2 | −2 sopra e 1 sotto | −2 |
| Decimale 0,25 | 1 sopra e 4 sotto | 0,25 |
| Numero misto negativo −1 1/2 | −3 sopra e 2 sotto | −1 1/2 |
L’inserimento −1 1/2 equivale a −3/2: il segno meno si applica all’unità e alla metà. Non equivale a −1 + 1/2, che vale −1/2. Inserire il numero misto in un solo campo della modalità avanzata evita di separarne le parti in modo errato.
La modalità avanzata accetta da due a venti operandi e limita ogni token numerico a 100 cifre. In modalità «Espressione», il campo accetta fino a 1.024 caratteri e il numeratore o denominatore del risultato fino a 10.000 cifre; un’espressione molto complessa può richiedere anche meno operazioni o parentesi annidate. Nessun denominatore può essere zero e il divisore di una divisione non può valere zero.
Apri «Mostra i passaggi» per individuare le trasformazioni di ogni operazione. In un’addizione, controlla il denominatore comune e i numeratori equivalenti; in una moltiplicazione, segui il prodotto e la riduzione; in una divisione, verifica il reciproco del divisore. Dopo ogni passaggio, moltiplica in croce le frazioni equivalenti se devi confermare che abbiano lo stesso valore.
Il risultato in frazione è il riferimento esatto. Una forma decimale finita, come 1/4 = 0,25, è esatta a sua volta. Una forma periodica, come 1/3 = 0,(3), ripete all’infinito il gruppo tra parentesi. Quando lo schermo mostra «≈» e un numero finito di decimali, le cifre sono un’approssimazione arrotondata, non una nuova uguaglianza esatta.
Per esempio, lo sviluppo periodico di 1/7 è più lungo di quello di 1/3. Se la visualizzazione raggiunge il limite di cifre, conserva 1/7 per proseguire i calcoli: usare un’approssimazione come nuovo dato può accumulare errori. La calcolatrice lavora con numeratori e denominatori interi, quindi 0,1 + 0,2 dà esattamente 3/10.
Per cambiare la scrittura di un valore, puoi convertire una frazione in decimale.
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
0,33 + 0,33 + 0,33 = 0,99
Manca 0,01 (1%) per completare l’unità.
Calcola con la frazione esatta e arrotonda quando presenti il risultato.
Una studentessa calcola 1/2 − 1/3 e vuole capire perché il risultato è 1/6. Trasforma 1/2 in 3/6 e 1/3 in 2/6; poi sottrae 3/6 − 2/6 = 1/6. Il calcolo errato (1 − 1)/(2 − 3) non mantiene parti della stessa grandezza e introduce un denominatore negativo senza giustificare l’operazione.
Un insegnante può chiedere alla classe perché 4/8 e 1/2 rappresentano la stessa quantità. Dividere numeratore e denominatore per 4 mostra la riduzione; la calcolatrice consente di verificare il risultato mentre il ragionamento collega quattro ottavi a una metà.
Se una ricetta combina 3/4 di tazza di un ingrediente con 1/8 di tazza dello stesso ingrediente, il totale è 6/8 + 1/8 = 7/8 di tazza. Lascia «tazza» fuori dai campi numerici e aggiungi l’unità quando leggi il risultato. Sommare ingredienti diversi può servire a calcolare il volume totale, ma non sostituisce le quantità indicate per ciascun ingrediente.
In un laboratorio si tagliano 3/4 di metro da un pezzo lungo 2 1/2 metri. Converti 2 1/2 in 5/2 = 10/4; poi calcola 10/4 − 3/4 = 7/4 = 1 3/4 metri. In modalità avanzata, inserisci «2 1/2» e «3/4». Il valore esatto 7/4 conserva tutta la misura; aggiungi «metri» quando leggi la risposta per non perdere l’unità.
Tra parentesi si scrivono le cifre del periodo, cioè quelle che si ripetono all'infinito: nella calcolatrice 0,(3) è 0,333… (in un testo si scrive 0,3̅) e vale esattamente 1/3. Il simbolo «≈» indica un decimale arrotondato: con due cifre, 1/3 si mostra come ≈ 0,33 e la differenza esatta è 1/300. I calcoli successivi usano la frazione, non il decimale arrotondato.
Prima si calcola ciò che sta dentro le parentesi, poi il resto. In (1/10 + 2/5) ÷ 1/4 la parentesi dà 1/2, e 1/2 ÷ 1/4 vale 2. Se fuori dalle parentesi c'è una moltiplicazione o una divisione, quell'operazione si svolge prima di qualsiasi addizione che non sia tra parentesi.
Metti la base tra parentesi e usa ^ con un esponente intero: (2/5)^2 dà 4/25 e (−2/5)^3 dà −8/125. Un esponente negativo capovolge la frazione, quindi (2/5)^−1 è 5/2.
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