Come si risolve
- Risolvi prima ciò che sta tra parentesi.
- Poi risolvi le potenze.
- Risolvi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra.
- Infine addizioni e sottrazioni da sinistra a destra.
2/3 + 1/2 × 3/4
1/2 × 3/4 = 3/8
2/3 + 3/8 = 16/24 + 9/24 = 25/24
Risultato: 25/24
Errore comune:Sbagliato: 1/2 + 1/3 × 3/4 = 5/6 × 3/4 = 5/8.Giusto: 1/2 + 1/3 × 3/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4.Sommare da sinistra a destra ignora la precedenza del prodotto. Prima si calcola 1/3 × 3/4 = 1/4.
La calcolatrice valuta espressioni numeriche con frazioni, decimali finiti e periodici esatti (con le cifre ripetute tra parentesi), oltre a potenze con esponente intero. Il risultato è una frazione razionale esatta ridotta; l’ordine delle operazioni e i passaggi spiegano come si ottiene. Per una sola operazione tra due frazioni basta la calcolatrice di frazioni.
Come usare la calcolatrice di espressioni con frazioni
- Scrivi l’espressione nel campo «Espressione» usando
+,-,*,/e^, oppure×,÷,·e−. Per esempio,(1/2+1/3)*3/4. - Raggruppa con parentesi tonde o quadre.
[1/2+1/3]*3/4equivale all’espressione precedente. Le parentesi graffe{ }non sono accettate: sostituiscile con tonde o quadre. - Premi «Calcola». Compare il risultato esatto
5/8con il decimale esatto0,625. - Apri «Passaggi del calcolo». Ogni operazione compare nell’ordine di esecuzione e la linea di ogni frazione conta come una divisione:
1 ÷ 2 = 1/2,1 ÷ 3 = 1/3,1/2 + 1/3 = 5/6,5/6 × 3 = 5/2e infine5/2 ÷ 4 = 5/8.
Il campo accetta interi, frazioni come 3/4, decimali finiti e periodici esatti. Puoi scrivere il separatore decimale con la virgola o con il punto: 0,5+1/4 e 0.5+1/4 valgono entrambi 3/4. Le cifre del periodo vanno tra parentesi: 0,(3)+1/6 = 1/2 è esatto; un decimale finito arrotondato per rappresentare un valore non terminante è solo un’approssimazione. Nessuno dei due simboli separa le migliaia.
I numeri misti con parte frazionaria propria, come 1 1/2, sono accettati, e il segno vale per tutto il numero: -1 1/2+1/4 = -5/4. Il segno di moltiplicazione si può omettere prima di una parentesi, come in 2(1/3) = 2/3 o (1/2)(3/4) = 3/8, ma non dopo: (1/2)3 viene rifiutato. Le variabili e le chiamate a funzioni non sono ammesse.
Qual è l’ordine delle operazioni?
Un’espressione con frazioni si calcola in questo ordine:
- Parentesi tonde e quadre, dalla più interna.
- Potenze.
- Moltiplicazioni e divisioni, da sinistra a destra.
- Addizioni e sottrazioni, da sinistra a destra.
In 1/2+1/3*3/4 la moltiplicazione viene prima: 1/3*3/4=1/4, quindi 1/2+1/4=3/4. Le parentesi cambiano il raggruppamento: (1/2+1/3)*3/4 diventa 5/6*3/4=5/8. Perciò gli stessi numeri, raggruppati in modo diverso, possono dare risultati diversi.
(1/2 + 1/3) × 3/4 = 5/8, mentre 1/2 + 1/3 × 3/4 = 3/4
Moltiplicazioni e divisioni hanno la stessa precedenza e si eseguono nell’ordine in cui compaiono: 1/2 ÷ 1/4 × 2 = 2 × 2 = 4, non 1/2 ÷ 1/2 = 1. Con ÷ tra le frazioni, ogni 1/2 o 1/4 è letto come una frazione. Se usi solo /, 1/2/1/4*2 è una catena di divisioni che vale 1/4; scrivi (1/2)/(1/4)*2 per ottenere 4.
La potenza ha precedenza sul segno unario: -2^2 significa -(2^2)=-4. Per elevare al quadrato il numero negativo, scrivi (-2)^2=4. Le potenze ripetute si raggruppano da destra: 2^3^2=2^(3^2)=512; (2^3)^2, con le altre parentesi, vale 64. Le potenze di frazioni hanno una calcolatrice dedicata, che spiega anche gli esponenti negativi.
Espressioni che si leggono spesso male
| Espressione | Si calcola come | Risultato |
|---|---|---|
1/2+1/3*3/4 |
1/2 + (1/3 × 3/4) | 3/4 |
(1/2+1/3)*3/4 |
5/6 × 3/4 | 5/8 |
1/2÷1/4*2 |
(1/2 ÷ 1/4) × 2 | 4 |
1/2/1/4*2 |
((1 ÷ 2) ÷ 1 ÷ 4) × 2 | 1/4 |
-2^2 |
−(2 × 2) | −4 |
(-2)^2 |
(−2) × (−2) | 4 |
2^3^2 |
2^(3^2) = 2^9 | 512 |
-(1/2)^2 |
−(1/4) | −1/4 |
Quando un’espressione ammette due letture, aggiungi parentesi: non modificano un calcolo ben scritto e rendono visibile l’intenzione.
Esempi svolti
Parentesi quadre e divisione. [3/4-1/2]÷(1/3+1/6) calcola prima ogni gruppo: 3/4 − 1/2 = 1/4 e 1/3 + 1/6 = 1/2. Poi 1/4 ÷ 1/2 = 1/2: il primo gruppo vale la metà del secondo.
Potenza, prodotto e somma. 2/3+(1/2)^2*4/3 calcola prima la potenza, (1/2)^2 = 1/4, poi il prodotto, 1/4 × 4/3 = 1/3, infine la somma, 2/3 + 1/3 = 1. Sommare per primo darebbe un altro valore.
Numero misto, decimale finito e periodico. 1 1/2*0,4-0,(3) trasforma ogni numero in frazione: 3/2 × 2/5 − 1/3 = 3/5 − 1/3 = 9/15 − 5/15 = 4/15. Il decimale esatto mostrato è 0,2(6), un decimale periodico misto.
Risultato esatto e casi non definiti
La frazione ridotta conserva il valore senza arrotondamenti. Il decimale è indicato come esatto quando è finito o periodico; se richiede più di 12 cifre decimali, compare con ≈ come valore arrotondato.
Una divisione per zero non è definita, anche quando il divisore diventa zero soltanto dopo un calcolo: 1/(1/2-1/2) viene rifiutata perché 1/2-1/2=0. Le potenze negative di zero sono rifiutate e 0^0 è indefinito secondo la convenzione adottata dalla calcolatrice.
L’espressione può contenere al massimo 1024 caratteri, 200 nodi e 20 livelli di annidamento; gli esponenti interi hanno valore assoluto massimo 100, i token numerici al massimo 100 cifre e il risultato al massimo 10.000 cifre. Se si supera un limite, il calcolo restituisce un errore e non un risultato parziale.
Quando usarla e quando no?
Usala quando un’espressione mescola più operazioni e l’ordine conta. Per una sola operazione tra due frazioni, la calcolatrice di frazioni spiega ogni passaggio in modo più dettagliato. Se l’espressione è una grande frazione con un calcolo sopra e uno sotto la linea, la calcolatrice delle frazioni complesse separa numeratore e denominatore. Le radici si calcolano a parte con le radici di frazioni e le espressioni in x con le frazioni algebriche. OpenStax (in inglese) presenta l’ordine delle operazioni e il ruolo delle parentesi (in inglese).
Domande frequenti
Come si usa la calcolatrice di espressioni con frazioni?
Scrivi l’espressione completa nel campo «Espressione», per esempio (1/2+1/3)×3/4, e premi Calcola. Compare il risultato esatto 5/8 con il decimale esatto 0,625. In «Passaggi del calcolo» trovi ogni operazione nell’ordine di esecuzione; anche la linea di frazione conta come una divisione, quindi i primi passaggi sono 1 ÷ 2 = 1/2 e 1 ÷ 3 = 1/3.
Posso usare le parentesi graffe nelle espressioni con le frazioni?
No, le graffe non sono accettate: sostituiscile con parentesi tonde o quadre, che funzionano allo stesso modo. In un’espressione scolastica con graffe esterne e quadre interne, basta scrivere le graffe come tonde: il calcolo di 1/2 + 1/3 moltiplicato per 3/4 dà comunque 5/8. Puoi annidare fino a 20 livelli di parentesi.
Devo scrivere il segno per prima di una parentesi?
Prima di una parentesi non è obbligatorio: 2(1/3) vale 2/3 e (1/2)(3/4) vale 3/8. Dopo una parentesi sì: (1/2)3 viene rifiutato e va scritto (1/2)×3. Con un decimale metti sempre il segno, perché 0,5(2) è letto come il decimale periodico 0,5222…, cioè 47/90, mentre 0,5×(2) vale 1.
Come si scrive una divisione tra frazioni nell’espressione?
Usa ÷ tra le frazioni oppure racchiudi ciascuna tra parentesi: 1/2 ÷ 1/3 e (1/2)/(1/3) valgono entrambe 3/2. Senza ÷, 1/2/1/3 è letto come una catena di divisioni da sinistra a destra e vale 1/6. Quando compare un ÷, ogni a/b viene raggruppato come una frazione.
In che ordine si svolgono le operazioni in un’espressione con frazioni?
Prima si calcolano le parentesi, poi le potenze, quindi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni. A parità di precedenza si procede da sinistra a destra. Così 1/2 + 1/3 × 3/4 dà 3/4, perché 1/3 × 3/4 = 1/4 si calcola prima dell’addizione.
Si fanno prima le moltiplicazioni o le divisioni?
Nessuna delle due: moltiplicazione e divisione hanno la stessa precedenza e si eseguono nell’ordine in cui compaiono. In 1/2 ÷ 1/4 × 2 si divide prima, 1/2 ÷ 1/4 = 2, poi si moltiplica: 4. Moltiplicare per primo darebbe 1/2 ÷ 1/2 = 1, un risultato sbagliato.
Perché −2^2 vale −4 e non 4?
Perché la potenza viene prima del segno meno che la precede: −2^2 significa −(2^2) = −4. Per elevare il numero negativo, scrivilo tra parentesi: (−2)^2 = (−2) × (−2) = 4. Lo stesso vale con le frazioni: −(1/2)^2 = −1/4, mentre (−1/2)^2 = 1/4.
Come si calcolano potenze in catena come 2^3^2?
Le potenze successive si raggruppano partendo da destra: 2^3^2 = 2^(3^2) = 2^9 = 512. Per elevare prima al cubo e poi al quadrato, scrivi (2^3)^2 = 8^2 = 64. Nel dubbio aggiungi parentesi: non cambiano un calcolo corretto ed eliminano ogni ambiguità.
Il decimale mostrato per un’espressione è esatto?
La frazione ridotta è sempre esatta. Lo è anche il decimale quando è finito, come 5/8 = 0,625, o periodico, come 4/15 = 0,2(6). Se per scriverlo per intero servono più di 12 cifre dopo la virgola, compare preceduto da ≈ e arrotondato a 12 cifre decimali: in quel caso è solo un’approssimazione.
Perché compare una divisione per zero se non ho scritto /0?
Perché un divisore può diventare zero dopo il calcolo. In 1/(1/2−1/2) il denominatore vale 1/2 − 1/2 = 0 e l’espressione viene rifiutata. Lo stesso accade con 0^−1, potenza negativa di zero, e con 0^0, che lo strumento tratta come non definito. Controlla la parte dell’espressione che si annulla.
Perché la calcolatrice di espressioni rifiuta il mio input?
Le cause più frequenti sono un numero subito dopo una parentesi, come (1/2)3; le parentesi graffe; una parentesi non chiusa; una lettera come x. Il separatore delle migliaia non esiste: 1.000 viene letto come 1. Correggi l’input e calcola di nuovo; ogni numero può avere fino a 100 cifre.
Quali sono i limiti della calcolatrice di espressioni?
Un’espressione può avere fino a 1024 caratteri, 200 nodi tra numeri e operazioni e 20 livelli di annidamento. Gli esponenti devono essere interi da −100 a 100 e il risultato non può superare 10.000 cifre al numeratore o al denominatore. Superare un limite produce un errore, mai un risultato parziale.
Posso calcolare una radice dentro un’espressione con frazioni?
No: il campo non ha un operatore di radice e rifiuta gli esponenti frazionari come ^(1/2). Calcola la radice a parte con la calcolatrice delle radici di frazioni, che accetta indici da 2 a 16, poi riporta il risultato nell’espressione se è razionale, come √(9/16) = 3/4.
Gli esponenti negativi sono ammessi in un’espressione?
Sì, se sono interi e compresi tra −100 e 100. Un esponente negativo capovolge la base: (1/2)^−2 = 2^2 = 4, e 3/4 + (2/3)^−1 = 3/4 + 3/2 = 9/4. La calcolatrice delle potenze di frazioni spiega questa regola con altri esempi.
Si possono mescolare numeri misti e decimali periodici?
Sì. Scrivi il numero misto con uno spazio, come 1 1/2, e il periodo tra parentesi, come 0,(3). Così 1 1/2 + 0,(3) = 3/2 + 1/3 = 11/6, mostrato anche come numero misto 1 5/6. Il segno di un numero misto negativo vale per tutto il numero: −1 1/2 vale −3/2.
La calcolatrice di espressioni accetta la lettera x?
No: valuta solo numeri razionali e rifiuta variabili e funzioni. Per semplificare un’espressione in x usa la calcolatrice delle frazioni algebriche; per trovare il valore di x in un’uguaglianza, quella delle equazioni con frazioni.