Una frazione complessa contiene una frazione o un’espressione aritmetica al numeratore, al denominatore o in entrambi. Questa calcolatrice tratta espressioni numeriche: valuta separatamente la parte superiore e quella inferiore, quindi divide i due risultati esatti. Qui «complessa» descrive una divisione annidata: i valori restano razionali e non si tratta di numeri complessi.
Come usare la calcolatrice per frazioni complesse
- Scrivi la parte superiore in «Espressione del numeratore», per esempio
1/2+1/3. Non serve racchiudere l’intero calcolo con una barra aggiuntiva. - Scrivi la parte inferiore in «Espressione del denominatore», per esempio
3/4. - Premi «Calcola». Compare «Risultato esatto: 10/9», insieme a «Decimale periodico esatto: 1,(1)» e «Numero misto: 1 1/9».
- Rileggi i passaggi. Il numeratore calcolato,
5/6, il denominatore,3/4, la divisione finale e la verifica(10/9) × (3/4) = 5/6compaiono separatamente.
Ogni campo segue la stessa grammatica della calcolatrice di espressioni con frazioni: interi, frazioni, decimali finiti e periodici esatti con il periodo tra parentesi, numeri misti con parte frazionaria propria, segni unari, +, -, *, /, ^ e parentesi. Il segno meno si può scrivere - oppure −. Il periodo tra parentesi indica un valore esatto: 0,(3)+1/6 = 1/2; un decimale finito arrotondato per un valore non terminante è solo un’approssimazione. Il segno di un numero misto vale per tutto il numero: -1 1/2+1/4 = -5/4.
Come si risolve una frazione complessa?
Si semplifica ogni espressione interna, poi si dividono i due risultati. Prima si riduce l’espressione superiore: 1/2+1/3=5/6. Poi si divide per il valore calcolato sotto, moltiplicando per il reciproco come nella divisione di frazioni: (5/6)÷(3/4)=(5/6)*(4/3)=20/18=10/9. La verifica inversa dà (10/9)*(3/4)=5/6, cioè il numeratore già calcolato. Tutti i calcoli usano frazioni esatte, senza arrotondamenti.
Anche il denominatore può essere una frazione; conta solo che il suo valore finale sia diverso da zero. Per esempio, (3/5)/(9/10)=(3/5)*(10/9)=2/3.
(3/5) ÷ (9/10) = 6/10 ÷ 9/10 = 6/9 = 2/3
Si può anche moltiplicare sopra e sotto per il m.c.m. dei denominatori interni: in (1/2 + 1/4)/(3/4 − 1/2), moltiplicare per 4 dà (2 + 1)/(3 − 2) = 3. La calcolatrice non usa questa scorciatoia, ma arriva allo stesso valore: sopra 3/4, sotto 1/4, e 3/4 ÷ 1/4 = 3.
Tabella di frazioni complesse risolte
| Frazione complessa | Numeratore | Denominatore | Risultato |
|---|---|---|---|
| (1/2 + 1/3)/(3/4) | 5/6 | 3/4 | 10/9 |
| (3/5)/(9/10) | 3/5 | 9/10 | 2/3 |
| (1/2 + 1/4)/(3/4 − 1/2) | 3/4 | 1/4 | 3 |
| (1 − 1/4)/(1 + 1/4) | 3/4 | 5/4 | 3/5 |
| 1/(1/2 + 1/3) | 1 | 5/6 | 6/5 |
| (2/3)/4 | 2/3 | 4 | 1/6 |
| 5/(1/3) | 5 | 1/3 | 15 |
Dividere per una frazione minore di 1 dà un risultato maggiore del numeratore, come nell’ultima riga: 5/(1/3) = 15.
Esempi svolti
Velocità con tempi frazionari. Se percorri 3/4 km in 1/6 h, la velocità è (3/4)/(1/6) = 3/4 × 6 = 18/4 = 9/2 km/h, cioè 4,5 km/h. Scrivi 3/4 in alto e 1/6 in basso.
Resistenze in parallelo. Due resistenze da 2 Ω e 3 Ω in parallelo equivalgono a 1/(1/2 + 1/3) = 1/(5/6) = 6/5 Ω. Scrivi 1 in alto e 1/2+1/3 in basso: l’insieme oppone meno resistenza di ciascuna delle due.
Velocità media di andata e ritorno. A 60 km/h all’andata e 40 km/h al ritorno sullo stesso percorso, la velocità media è 2/(1/60 + 1/40) = 2/(1/24) = 48 km/h, non 50. L’articolo sulla velocità media di andata e ritorno spiega perché non si fa la media delle velocità.
Quando una frazione complessa dà errore?
Una frazione complessa dà errore quando il suo denominatore vale zero o quando un’espressione non si può leggere. Se inserisci 1/2-1/2 in basso, il suo valore è zero e la divisione finale non è definita. Una divisione per zero dentro uno dei due campi viene ugualmente rifiutata. Un’espressione inferiore come 0/5 è valida da sola, ma non può fare da divisore.
Ogni campo è limitato a 1024 caratteri, 200 nodi e 20 livelli di annidamento, con 100 cifre per token numerico. Gli esponenti interi hanno valore assoluto massimo 100 e i risultati massimo 10.000 cifre. I decimali possono usare la virgola o il punto, ma non entrambi nello stesso numero.
Su una sola riga, 1/2+1/3/3/4 non indica dove si trovi la linea principale: le divisioni si raggruppano secondo la precedenza. I due campi evitano questa ambiguità; in un’unica espressione, usa parentesi esplicite come (1/2+1/3)/(3/4).
Quando usarla e quando no?
Usala quando un problema numerico ha una linea di frazione principale con espressioni sopra e sotto. La parola «complessa» descrive qui una frazione numerica annidata: i campi non accettano la variabile x e non eseguono la scomposizione in fratti semplici. Scegli un altro strumento in questi casi:
- Espressione con x: la calcolatrice delle frazioni algebriche conserva i valori esclusi dal dominio.
- Quoziente di polinomi da separare in termini semplici: la scomposizione in fratti semplici.
- Sequenza di operazioni senza linea principale: la calcolatrice di espressioni valuta l’intera riga; scrivi
(1/2+1/3)/(3/4)con le parentesi. - Semplice divisione tra due frazioni: la divisione di frazioni mostra il reciproco passo per passo.
OpenStax (in inglese) descrive la semplificazione delle frazioni complesse (in inglese).
Domande frequenti
Come si usa la calcolatrice per frazioni complesse?
Scrivi la parte superiore in «Espressione del numeratore», quella inferiore in «Espressione del denominatore» e premi Calcola. Con 1/2+1/3 e 3/4 il risultato è 10/9, con il decimale periodico esatto 1,(1) e il numero misto 1 1/9. I passaggi mostrano separatamente numeratore, denominatore e divisione finale.
Che cosa va scritto in ciascun campo di una frazione complessa?
Ogni campo riceve tutto ciò che sta sopra o sotto la linea di frazione principale, senza parentesi esterne. Per (1 − 1/4)/(1 + 1/4) scrivi 1-1/4 in alto e 1+1/4 in basso. La calcolatrice ottiene 3/4 e 5/4, e il risultato è 3/5.
Si possono usare numeri misti o decimali in una frazione complessa?
Sì. Ogni campo accetta numeri misti come 1 1/2, decimali con virgola o punto come 0,25 e decimali periodici con il periodo tra parentesi, come 0,(3). Per esempio, 1 1/2 in alto e 0,25 in basso danno 3/2 ÷ 1/4 = 6. Il segno di un numero misto negativo vale per tutto il numero.
Perché numeratore e denominatore hanno passaggi separati?
Perché ogni espressione viene calcolata prima della divisione finale. I passaggi separati permettono di trovare un errore di precedenza sopra o sotto senza mescolare i due calcoli. Seguono la divisione, per esempio 5/6 ÷ 3/4 = 10/9, e una riga «Verifica».
Come si semplifica una frazione complessa passo per passo?
Si riduce prima il numeratore a una sola frazione, poi il denominatore, e infine si divide moltiplicando per il reciproco. In (1/2 + 1/3)/(3/4) il numeratore vale 5/6, e 5/6 × 4/3 = 20/18 = 10/9. È esattamente il metodo della calcolatrice.
Come si semplifica una frazione complessa con il minimo comune multiplo?
Moltiplica numeratore e denominatore per il m.c.m. di tutti i denominatori interni. In (1/2 + 1/4)/(3/4 − 1/2) il m.c.m. di 2 e 4 è 4: sopra diventa 2 + 1 = 3 e sotto 3 − 2 = 1, quindi il risultato è 3. La calcolatrice ottiene lo stesso valore dividendo.
Perché dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il reciproco?
Perché dividere per 3/4 significa cercare il numero che, moltiplicato per 3/4, restituisce il numeratore, e quel numero è il numeratore × 4/3. Così 5/6 ÷ 3/4 = 5/6 × 4/3 = 10/9. La guida sul reciproco di una frazione approfondisce l’idea.
Una frazione complessa è la stessa cosa di una frazione di una frazione?
No. Una frazione complessa divide: (1/2)/(3/4) = 1/2 × 4/3 = 2/3. «La metà di 3/4» invece moltiplica: 1/2 × 3/4 = 3/8. Se il testo dice «di», usa la moltiplicazione di frazioni; se c’è una linea principale tra due frazioni, è una divisione.
Perché compare un errore se la parte inferiore della frazione complessa vale zero?
Perché non si può dividere per zero, nemmeno quando lo zero compare solo dopo il calcolo. Se scrivi 1/2-1/2 in basso, il suo valore è 0 e la divisione finale non è definita. Un’espressione come 0/5 è valida in alto, dove dà 0, ma non come denominatore.
Come si verifica il risultato di una frazione complessa?
Moltiplica il risultato per il denominatore calcolato: devi ritrovare il numeratore calcolato. Per (1/2 + 1/3)/(3/4) = 10/9, la riga di verifica mostra (10/9) × (3/4) = 5/6, che corrisponde a 1/2 + 1/3. Se non torna, rileggi l’espressione di ciascun campo.
Perché 1/2+1/3/3/4 scritto su una riga non dà la frazione complessa?
Perché, senza parentesi, le divisioni si concatenano secondo la precedenza: 1/3 ÷ 3 ÷ 4 = 1/36 e la riga vale 1/2 + 1/36 = 19/36. La frazione complessa (1/2 + 1/3)/(3/4) vale 10/9. I due campi di questa calcolatrice fissano la linea principale senza ambiguità.
Una frazione complessa può dare un intero o un numero negativo?
Sì. (1/2 + 1/4)/(3/4 − 1/2) = 3/4 ÷ 1/4 = 3, un intero. Se una delle due parti è negativa, anche il quoziente lo è: (−1/2)/(1/4) = −2. Se entrambe sono negative, il risultato torna positivo.
Che differenza c’è tra frazione complessa e scomposizione in fratti semplici?
Una frazione complessa è un calcolo numerico annidato che si riduce a una sola frazione. La scomposizione in fratti semplici fa l’opposto con i polinomi: separa un quoziente di polinomi in una somma di termini più semplici. Ha una calcolatrice dedicata, quella dei fratti semplici.
Si può calcolare una frazione complessa che contiene x?
No. Questa pagina valuta espressioni numeriche e rifiuta le variabili. Una frazione con x richiede regole di dominio e una semplificazione simbolica, perché vanno esclusi i valori che annullano un denominatore. Per questo usa la calcolatrice delle frazioni algebriche.
Si può calcolare una frazione complessa con più livelli?
Sì, scrivendo le linee interne con parentesi in ciascun campo. Per 1 + 1/(1 + 1/2) inserisci 1+1/(1+1/2) in alto e 1 in basso: 1 + 2/3 = 5/3. Ogni campo accetta fino a 20 livelli di annidamento. Le frazioni continue hanno una calcolatrice dedicata.
Dove si incontrano le frazioni complesse fuori dagli esercizi?
In ogni quoziente tra quantità frazionarie. Percorrere 3/4 km in 1/6 h dà una velocità di (3/4)/(1/6) = 9/2 km/h. Due resistenze da 2 Ω e 3 Ω in parallelo equivalgono a 1/(1/2 + 1/3) = 6/5 Ω, come spiega l’articolo sulle resistenze in parallelo.