La scomposizione in fratti semplici riscrive una frazione razionale P/Q come una parte polinomiale più una somma di frazioni i cui denominatori sono i fattori di Q o le loro potenze. Il calcolo è esatto: il calcolatore determina i coefficienti razionali, ricompone i termini e verifica l’identità coefficiente per coefficiente. Le condizioni di esistenza imposte dai fattori del denominatore restano valide anche dopo la scomposizione.
Come usare la calcolatrice dei fratti semplici
- Scrivi il numeratore in «Coefficienti del numeratore», dal grado minore al maggiore, separati da virgole:
1per il numeratore 1,1,0,2per1+2*x^2. Per un coefficiente frazionario puoi scrivere1/2. - Scomponi tu il denominatore. Lo strumento non cerca le radici: per x² + x scrivi x(x + 1).
- Inserisci un fattore per riga in «Fattori del denominatore, uno per riga», nel formato
coefficienti;molteplicità:0,1;1per x e1,1;1per x + 1. - Premi «Calcola». Il risultato mostra «Parte polinomiale: 0» e «Termini della scomposizione in fratti semplici: (1)/(x) + (-1)/(x+1)».
- Controlla le ultime righe: «Denominatore originale: x^2+x», «Restrizioni originali: (x) ≠ 0; (x+1) ≠ 0» e «Identità verificata coefficiente per coefficiente.».
Durante un calcolo lungo puoi fermarlo con il pulsante «Annulla».
Come si inseriscono i fattori del denominatore?
Ogni fattore si scrive con i coefficienti in ordine di grado crescente, seguiti da un punto e virgola e dalla molteplicità. I coefficienti sono interi o frazioni come 1/2, con al massimo 50 cifre per parte; i decimali non sono ammessi, perché la virgola separa i coefficienti.
| Fattore | Da inserire |
|---|---|
| x | 0,1;1 |
| x + 1 | 1,1;1 |
| x − 1 | -1,1;1 |
| 2x + 3 | 3,2;1 |
| x² + 1 | 1,0,1;1 |
| (x + 1)² | 1,1;2 |
| x² | 0,1;2 |
Sono ammessi da 1 a 6 fattori lineari o quadratici irriducibili sui razionali. x² − 1 inserito come un unico trinomio viene rifiutato, perché vale (x − 1)(x + 1). Anche due righe con lo stesso fattore vengono rifiutate: riuniscile indicando la molteplicità, da 1 a 6. Il grado totale del denominatore, molteplicità comprese, non può superare 6; il numeratore può avere grado fino a 64.
Come si calcola la scomposizione in fratti semplici?
Si prevede un termine per ogni fattore e per ogni sua potenza, si porta tutto a denominatore comune e si confrontano i coefficienti del numeratore. La calcolatrice procede così:
- Moltiplica i fattori per ottenere il denominatore Q e divide P per Q. Il quoziente E è la parte polinomiale; il resto R ha grado minore di quello di Q.
- Prevede un fratto semplice per ogni potenza di ogni fattore: A/(x − r)^k per un fattore lineare e (Bx + C)/(x² + px + q)^k per un trinomio irriducibile.
- Uguaglia R alla somma di questi termini sul denominatore comune Q e ottiene un sistema lineare, con un’equazione per ogni potenza di x.
- Risolve il sistema con l’eliminazione di Gauss su frazioni esatte, senza numeri in virgola mobile.
- Ricompone la parte polinomiale e tutti i termini e verifica di ritrovare esattamente il numeratore P.
Un termine con numeratore 0 non viene mostrato. Il calcolo ha un limite di tre secondi: se lo supera, lo strumento mostra «Il calcolo ha superato il tempo limite. Prova con un’espressione più semplice.» invece di una scomposizione incompleta.
Esempi svolti
Esempio: 1/[x(x + 1)]
Inserisci 1 come coefficiente del numeratore e aggiungi questi due fattori:
0,1;1
1,1;1| Passaggio | Calcolo |
|---|---|
| Impostare la forma | A/x + B/(x + 1) |
| Riunire il numeratore | A(x + 1) + Bx = (A + B)x + A |
| Confrontare i coefficienti con quelli di 1 | Termine costante: A = 1; coefficiente di x: A + B = 0 ⇒ B = −1 |
| Scrivere la scomposizione | 1/x − 1/(x + 1) |
Dominio originale: x ≠ 0 e x ≠ −1. Riunendo le frazioni, il numeratore diventa (x + 1) − x = 1; sul dominio ammesso si ritrova quindi la frazione iniziale.
1/(2 · 3) = 1/6 = 3/6 − 2/6 = 1/2 − 1/3
Altri casi da riprodurre
- Due poli semplici: 1/(x² − 1) = (1/2)/(x − 1) − (1/2)/(x + 1). Numeratore
1; fattori-1,1;1e1,1;1. I coefficienti ±1/2 mostrano che i risultati non sono sempre interi. - Parte polinomiale non nulla: (x² + 1)/(x(x + 1)) = 1 + 1/x − 2/(x + 1). Numeratore
1,0,1; fattori0,1;1e1,1;1. Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, quindi compare prima la parte polinomiale 1. - Trinomio irriducibile: 1/(x(x² + 1)) = 1/x − x/(x² + 1). Numeratore
1; fattori0,1;1e1,0,1;1. Il fattore x² + 1 riceve un numeratore di primo grado. - Numeratore di primo grado: (5x + 3)/((x + 1)(x + 2)) = −2/(x + 1) + 7/(x + 2). Numeratore
3,5; fattori1,1;1e2,1;1. Verifica: −2(x + 2) + 7(x + 1) = 5x + 3.
Che cosa cambia con un fattore ripetuto?
Con un fattore ripetuto serve un termine per ciascuna potenza: per (x + 1)² si scrive A/(x + 1) + B/(x + 1)². Per 1/(x²(x + 1)) inserisci 0,1;2 e 1,1;1: il risultato è (-1)/(x) + (1)/(x)^2 + (1)/(x+1), cioè −1/x + 1/x² + 1/(x + 1). Verifica: −x(x + 1) + (x + 1) + x² = 1.
Quando usarla e quando no
Usa questa calcolatrice quando conosci già la fattorizzazione del denominatore e ti servono i coefficienti esatti di ogni fratto semplice: per preparare un integrale, un’antitrasformata di Laplace o per controllare un esercizio svolto a mano.
Scegli un altro strumento in questi casi:
- Semplificare o operare con frazioni in x conservando i valori esclusi: usa semplificare frazioni algebriche.
- Trovare i valori di x che verificano un’uguaglianza: le equazioni con frazioni controllano ogni soluzione rispetto alle restrizioni.
- Calcolare un’espressione senza variabile: il calcolatore di espressioni con frazioni dà un valore esatto.
- Denominatore che non sai scomporre o di grado maggiore di 6: lo strumento non cerca le radici; la fattorizzazione va fatta prima, eventualmente sui reali con radici come √2, che qui non si usano.
La guida sulle frazioni algebriche e il loro dominio spiega perché un valore escluso all’inizio resta escluso dopo ogni riscrittura.
Domande frequenti
In che ordine si scrivono i coefficienti del numeratore?
Dal grado minore al maggiore, separati da virgole: prima il termine noto, poi il coefficiente di x, poi quello di x², e così via. Quindi 3 + 5x si scrive 3,5 e x² + 1 si scrive 1,0,1. I coefficienti sono interi o frazioni come 1/2; i decimali non sono ammessi, perché la virgola separa già i coefficienti.
Come si inserisce un fattore ripetuto come (x + 1)²?
Su una sola riga, con la molteplicità dopo il punto e virgola: 1,1;2. Non scrivere due volte la riga 1,1;1: due fattori uguali su righe separate vengono rifiutati e vanno riuniti indicando la molteplicità. Per x² scrivi il fattore x con molteplicità 2, cioè 0,1;2.
Come si inserisce un fattore quadratico come x² + 1?
Con i suoi tre coefficienti in ordine di grado crescente, poi la molteplicità: 1,0,1;1. Il trinomio deve essere irriducibile sui razionali, cioè senza radici razionali. x² + 1 e x² − 2 sono accettati; x² − 1 no, perché si scompone in (x − 1)(x + 1): in quel caso inserisci i due fattori lineari.
La calcolatrice può scomporre il denominatore al posto mio?
No. Devi fornire tu i fattori lineari o quadratici irriducibili e la molteplicità di ciascuno. Per x³ + x², scomponi prima in x²(x + 1) e poi inserisci le righe 0,1;2 e 1,1;1. La riga «Denominatore originale» del risultato, qui x^3+x^2, ti permette di controllare che i fattori ricostruiscano il denominatore giusto.
Come si trovano i coefficienti dei fratti semplici?
Si uguagliano i numeratori e si confrontano i coefficienti. Per (5x + 3)/((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2) si ottiene 5x + 3 = A(x + 2) + B(x + 1). Ponendo x = −1 trovi A = −2; ponendo x = −2 trovi B = 7. La calcolatrice risolve il sistema equivalente con l’eliminazione di Gauss esatta.
Che cos’è la parte polinomiale di una frazione razionale?
È il quoziente della divisione tra il polinomio al numeratore e quello al denominatore; lo strumento la mostra come «Parte polinomiale». Vale 0 se il grado del numeratore è minore di quello del denominatore. Per x³/(x² + 1) la divisione dà quoziente x e resto −x, quindi x − x/(x² + 1). Solo il resto viene poi scomposto.
Perché un fattore quadratico ha al numeratore un termine in x?
Perché il numeratore di ogni fratto semplice deve avere grado minore del suo denominatore. Sopra un trinomio irriducibile il numeratore generico è quindi Bx + C, con due incognite. Per 1/(x(x² + 1)) si trovano B = −1 e C = 0, e il fratto semplice è −x/(x² + 1).
A che cosa serve la scomposizione in fratti semplici?
Soprattutto a integrare le funzioni razionali e ad antitrasformare con Laplace. Per esempio, 1/(x(x + 1)) = 1/x − 1/(x + 1) si integra termine per termine in ln|x| − ln|x + 1| + c. Questo strumento esegue solo la scomposizione: l’integrale o l’antitrasformata vanno calcolati a parte.
Come si legge un termine come (1)/(x)^2 nel risultato?
Come 1/x². Lo strumento scrive ogni termine con il numeratore tra parentesi, poi il fattore tra parentesi e, se il fattore è ripetuto, la potenza: (1)/(x+1)^2 si legge 1/(x + 1)². Il segno meno compare come trattino: (-1)/(x+1) vale −1/(x + 1) e (-x)/(x^2+1) vale −x/(x² + 1).
Perché il risultato mostra (1)/(2x) e non (1/2)/(x)?
Perché lo strumento conserva i fattori come li hai inseriti. Se scrivi il fattore 2x come 0,2;1, il termine appare come (1)/(2x), che vale proprio (1/2)/(x). Per avere fattori con coefficiente direttore 1, inserisci x come fattore e porta il 2 al numeratore, con il coefficiente 1/2.
Che cosa vuol dire «Identità verificata coefficiente per coefficiente»?
Vuol dire che lo strumento ha ricomposto la parte polinomiale e tutti i termini sul denominatore comune e ha ritrovato esattamente il tuo numeratore, coefficiente per coefficiente. Se questa verifica non riuscisse, non verrebbe mostrato alcun risultato. Il controllo usa frazioni esatte, senza arrotondamenti decimali.
I valori che annullano il denominatore restano esclusi dopo la scomposizione?
Sì. La scomposizione coincide con la frazione di partenza solo dove il denominatore non si annulla. Per 1/(x(x + 1)) la riga «Restrizioni originali» indica (x) ≠ 0; (x+1) ≠ 0, cioè x ≠ 0 e x ≠ −1. Un trinomio irriducibile come x² + 1 non si annulla per nessun x reale, ma resta comunque elencato.
Qual è il grado massimo del denominatore?
Il grado totale è al massimo 6, molteplicità comprese: (x² + 1)³ arriva esattamente a 6. Aggiungendo il fattore x si arriverebbe a 7 e lo strumento risponderebbe «Il grado del polinomio supera il limite di questo strumento.» Ogni molteplicità va da 1 a 6 e puoi inserire da 1 a 6 righe di fattori.
Che cosa fa la calcolatrice con un fattore come x² − 2?
Lo tratta come trinomio irriducibile, perché non ha radici razionali, quindi 1/(x² − 2) resta così com’è. Sui reali si potrebbe scrivere x² − 2 = (x − √2)(x + √2), ma questo strumento lavora con coefficienti razionali e non introduce radici quadrate nei fattori.
Quale strumento usare per semplificare o risolvere invece di scomporre?
Per semplificare un’espressione razionale o operare con frazioni in x, usa le frazioni algebriche. Per trovare i valori di x che rendono vera un’uguaglianza, passa alle equazioni con frazioni. Per calcolare un’espressione solo numerica, senza x, usa le espressioni con frazioni.