Para (3x + 5)/((x + 1)(x + 2)), escreva 5,3 como numerador e os fatores 1,1;1 e 2,1;1: o resultado é 2/(x + 1) + 1/(x + 2), com x ≠ −1 e x ≠ −2. Para cancelar fatores comuns, use as frações algébricas.
Exemplo resolvido: separar em frações simples
Separe o quociente em frações simples. Dados de entrada: numerador `5,3`; fatores `1,1;1` e `2,1;1`.
- Monte um termo por fator. o quociente = A/(x + 1) + B/(x + 2).
- Iguale os numeradores. Multiplicando os dois lados por (x + 1)(x + 2) fica 3x + 5 = A(x + 2) + B(x + 1).
- Substitua dois valores de x. Com x = −1 o segundo termo se anula: 3(−1) + 5 = 2 = A · 1, logo A = 2. Com x = −2 o primeiro se anula: 3(−2) + 5 = −1 = B · (−1), logo B = 1.
Resultado: 2/(x + 1) + 1/(x + 2), com x ≠ −1 e x ≠ −2.
Para conferir, com x = 1 a fração original vale 8/6 = 4/3, e 2/2 + 1/3 também dá 4/3. Além disso, 2(x + 2) + (x + 1) = 3x + 5.
Como escrever os dados
Os coeficientes vão do menor para o maior grau, separados por vírgulas: primeiro o termo independente, depois o de x e, se houver, o de x². Cada fator ocupa uma linha no formato coeficientes;multiplicidade. Os coeficientes são inteiros ou frações como 1/2, nunca decimais. O limite é grau total 6 no denominador.
| Expressão | Escreva assim |
|---|---|
| x | 0,1;1 |
| x − 1 | -1,1;1 |
| x² + 1 | 1,0,1;1 |
| (x + 1)² | 1,1;2 |
| numerador x² + 1 | 1,0,1 |
Repare que o termo independente vem primeiro: x − 1 é -1,1, e não 1,-1. Se um fator aparece duas vezes, reúna-o em uma só linha com a multiplicidade, porque duas linhas iguais são rejeitadas.
O que muda conforme o denominador
O método é o mesmo em todos os casos: um termo para cada fator e cada potência, igualar os numeradores e resolver os coeficientes. O que varia é a forma de cada termo.
| Caso | Fração | Decomposição |
|---|---|---|
| Fator repetido | (2x + 1)/(x(x + 1)²) | 1/x − 1/(x + 1) + 1/(x + 1)² |
| Fator quadrático | (x + 2)/(x(x² + 1)) | 2/x + (1 − 2x)/(x² + 1) |
| Numerador de grau alto | x³/((x + 1)(x + 2)) | x − 3 − 1/(x + 1) + 8/(x + 2) |
Leia cada linha da esquerda para a direita: a forma do denominador define quantas parcelas aparecem e de que tipo. Se o denominador tem um fator em comum com o numerador, simplifique antes com as frações algébricas e decomponha depois. Para encontrar os fatores de um denominador de grau 3 ou mais, o guia de domínio e fatoração de frações algébricas explica como buscar seus zeros.
Para continuar
Para cancelar fatores comuns ou operar com expressões em x, use as frações algébricas, que também mantêm as restrições. Quando há um sinal de igual e o objetivo é encontrar o valor de x, vá para as equações com frações. Para uma expressão puramente numérica, sem x, servem as operações combinadas.
A Wikipédia em português descreve a decomposição em frações parciais e atribui a cada fator quadrático irredutível um numerador linear, como na tabela acima (consultado em 17 de outubro de 2026).
Perguntas frequentes
Como fatorar o denominador antes de usar a calculadora?
Em um quadrático como x² + 7x + 12, procure dois números que somem 7 e multiplicam 12: são 3 e 4, e o resultado é (x + 3)(x + 4). Com grau 3 ou mais, teste raízes racionais: divisores do termo independente divididos por divisores do coeficiente principal. Depois escreva 3,1;1 e 4,1;1.
Serve para preparar uma integral ou uma transformada de Laplace?
Sim, é o passo anterior. Com 1/((x − 1)(x + 2)) = (1/3)/(x − 1) − (1/3)/(x + 2), cada termo é integrado separadamente e dá (1/3)ln|x − 1| − (1/3)ln|x + 2| + C. Esta página só decompõe; a integral ou a transformada inversa são calculadas à parte.
Como escrever um fator com coeficiente principal diferente de 1, como 2x + 1?
Com os dois coeficientes, do menor para o maior grau: 1,2;1. Para 1/(x(2x + 1)) o resultado é 1/x − 2/(2x + 1), e 1·(2x + 1) − 2x = 1 devolve o numerador. O fator aparece como foi escrito, sem ser dividido por 2.
O que fazer se o denominador tem um fator de grau 3?
A calculadora só aceita fatores lineares ou quadráticos, então o cúbico precisa ser separado antes. Se tiver uma raiz racional, como x³ − 8 com raiz 2, fica (x − 2)(x² + 2x + 4) e já pode ser escrito. Se não tiver nenhuma raiz racional, não cabe na ferramenta.