Para simplificar uma fração algébrica, fatore em cima e em baixo, cancele apenas os fatores repetidos e conserve os valores de x que anulavam o denominador original. Assim, (x² − 4)/(x − 2) = x + 2, mas só com x ≠ 2. Para que a calculadora faça isso, use a ferramenta de frações algébricas. O motivo pelo qual um denominador não pode valer zero está no guia sobre denominador zero.
Quatro passos e o erro que cada um evita
Uma fração algébrica é o quociente de duas expressões com letras; se ambas forem polinômios, chama-se racional. A tabela resume o protocolo.
| Passo | O que fazer | Erro que evita |
|---|---|---|
| 1. Domínio | Iguale a zero cada denominador original e resolva | Perder uma restrição ao cancelar |
| 2. Fatorar | Decomponha numerador e denominador por completo | Cancelar sem ver os fatores |
| 3. Cancelar | Elimine fatores iguais em cima e em baixo | Riscar parcelas |
| 4. Escrever | Dê o resultado junto com as restrições do passo 1 | Ampliar o domínio |
O passo 1 vem antes de fatorar porque, depois de cancelado um fator, não resta vestígio dele na expressão. Os passos 2 e 3 são os mais confundidos com a regra de “cortar o que se repete”, que vale só para fatores.
Exemplo resolvido: (x² − 4)/(x − 2)
Simplifique a fração e indique para quais valores de x o resultado é válido.
- Domínio. O denominador x − 2 vale zero quando x = 2, então se exclui x = 2.
- Fatore. x² − 4 é uma diferença de quadrados: (x − 2)(x + 2).
- Cancele. O fator x − 2 multiplica todo o numerador e todo o denominador, e sobra x + 2.
- Escreva. A igualdade vale para x ≠ 2.
Resultado: x + 2, com x ≠ 2.
Conferência: com x = 4, a original dá 12/2 = 6 e x + 2 também dá 6. Com x = 2, a original é 0/0, enquanto x + 2 valeria 4.
Por isso o gráfico da fração é a reta y = x + 2 com um buraco no ponto (2, 4). Um único valor de teste não demonstra a igualdade, mas basta para descartar muitos erros de cancelamento.
Quando uma restrição continua à vista
Nem todas as restrições desaparecem ao cancelar. Em (x² − 9)/(x² − x − 6), o denominador se fatora como (x − 3)(x + 2), e o numerador como (x − 3)(x + 3). Cancela-se x − 3 e resta (x + 3)/(x + 2). As exclusões do denominador original são x ≠ 3 e x ≠ −2, embora no resultado só se veja a segunda. Com x = 4, as duas formas valem 7/6.
Por que não se cancelam parcelas
Cancelar um fator é dividir em cima e em baixo pelo mesmo número. Quando os x estão somados, não são fator de todo o numerador, e riscá-los muda o valor.
Uma expressão pode, sim, ser separada quando o denominador tem um só termo: (2x + 4)/(2x) = 2(x + 2)/(2x) = (x + 2)/x, com x ≠ 0. Aqui o fator cancelado é o 2, que de fato multiplica as duas parcelas do numerador.
Uma expressão não é uma equação
Simplificar transforma uma expressão e não há nada a resolver. Uma equação, ao contrário, pede os valores de x que a satisfazem, e ao eliminar denominadores surgem candidatas que precisam ser conferidas na equação original.
| Equação | Candidata | Veredito |
|---|---|---|
| (x² − 9)/(x − 3) = 6 | x + 3 = 6 dá x = 3 | Anula x − 3: não tem solução |
| (x² − 9)/(x − 3) = 5 | x + 3 = 5 dá x = 2 | Permitido, e (4 − 9)/(2 − 3) = 5: solução |
A tabela mostra que a candidata da primeira linha coincide com o valor excluído, e a da segunda não. Substitua sempre nos denominadores originais, e não na equação já simplificada, porque esta perdeu as restrições. A calculadora de equações com frações descarta as candidatas excluídas. Se, ao conferir com um valor de x, os dois resultados não coincidirem, o guia de erros com frações reúne as falhas mais comuns. Para partir um quociente em frações mais simples, o caminho é outro e está na decomposição em frações parciais.
Pratique
- Simplifique (x² − 16)/(x − 4) e indique a restrição.
- Simplifique (3x + 6)/(x + 2).
- Simplifique (x² − 25)/(x² − 5x) e escreva as duas restrições.
- Resolva (x² − 36)/(x − 6) = 12.
- É correto reduzir (x + 5)/(x + 7) a 5/7?
Ver as respostas
- x + 4, com x ≠ 4.
- 3(x + 2)/(x + 2) = 3, com x ≠ −2.
- (x − 5)(x + 5)/(x(x − 5)) = (x + 5)/x, com x ≠ 0 e x ≠ 5.
- Fica x + 6 = 12, que dá x = 6. Esse valor anula x − 6, então não há solução.
- Não. Com x = 1, a fração vale 6/8 = 3/4, que não é 5/7.
Fontes
O artigo “Fração algébrica” da Wikipédia em português define frações algébricas como expressões em forma de fração em que ao menos uma variável aparece no denominador. O artigo “Função racional” apresenta essas funções como quociente de polinômios e relaciona os valores que anulam o denominador às assíntotas verticais (consultado em 17 de outubro de 2026). Ambas são enciclopédias abertas, por isso convém confrontá-las com o livro didático.