Uma mesma fração pode ser escrita como soma de frações unitárias ou como quociente aninhado. Com 5/8 saem 1/2 + 1/8 na forma egípcia e [0; 1, 1, 1, 2] na forma contínua. As duas dizem a mesma coisa, mas cada escrita serve a uma tarefa diferente: repartir em partes unitárias ou aproximar passo a passo. Aqui as duas são comparadas com um único valor. Para converter qualquer fração e ver seus convergentes, use a fração contínua; para decompor outra fração pelo método guloso, a forma egípcia.
Um valor, duas escritas
Uma fração egípcia é uma soma de frações unitárias (numerador 1) com denominadores diferentes. Uma fração contínua é um inteiro mais um recíproco, que por sua vez contém outro recíproco, e assim até terminar. Cada corte dessa estrutura se chama convergente.
Exemplo resolvido: duas formas de um mesmo valor
Escreva 5/8 como soma egípcia e como fração contínua simples.
- Egípcia: tome a maior unitária que cabe. Como 8 ÷ 5 está entre 1 e 2, o denominador é 2 e subtrai-se esse meio. Sobram 5/8 − 4/8 = 1/8.
- O resto 1/8 já é uma fração unitária, então o processo termina.
- Contínua: divida e repita. 5 = 0 × 8 + 5, 8 = 1 × 5 + 3, 5 = 1 × 3 + 2, 3 = 1 × 2 + 1 e 2 = 2 × 1.
- Os quocientes são 0, 1, 1, 1 e 2, ou seja, [0; 1, 1, 1, 2].
- Reconstrua da direita para a esquerda. A parte mais interna, 1 mais um meio, dá 3/2; depois 1 + 2/3 = 5/3 e 1 + 3/5 = 8/5; o recíproco de 8/5 é 5/8.
Resultado: a forma egípcia soma meio e um oitavo, e a contínua é [0; 1, 1, 1, 2].
Conferência: 4/8 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625, e 5 dividido por 8 dá o mesmo.
Os passos da contínua são os da divisão de Euclides, relação explicada no guia do algoritmo de Euclides. As parcelas da egípcia são frações unitárias, conceito desenvolvido no guia de frações unitárias.
Os cortes da contínua vão dando valores cada vez mais próximos:
| Corte | Valor | Decimal |
|---|---|---|
| [0] | 0 | 0 |
| [0; 1] | 1 | 1 |
| [0; 1, 1] | 1/2 | 0,5 |
| [0; 1, 1, 1] | 2/3 | 0,6̅ |
| [0; 1, 1, 1, 2] | 5/8 | 0,625 |
Os valores sobem e descem em torno de 0,625 até que o último corte coincide com ele. Uma soma egípcia não oferece essa sequência de aproximações: cada termo é somado e o total só está correto quando a lista está completa.
Qual escrita usar conforme a pergunta
| Pergunta | Escrita | Ferramenta |
|---|---|---|
| Como reparto uma quantidade em partes unitárias diferentes? | Egípcia | Frações egípcias |
| Qual fração simples mais se parece com este valor? | Contínua | Frações contínuas |
| Qual fração se parece com um decimal medido, com um denominador máximo? | Nenhuma das duas diretamente | Aproximar decimal para fração |
A egípcia serve quando importa dividir em partes de tamanho 1/n, como nos problemas de partilha. A contínua serve quando se busca uma fração de denominador pequeno que se aproxime de um valor. Com um racional, as duas terminam. Cada uma tem suas regras: os denominadores da egípcia não se repetem e, na contínua, os quocientes depois do primeiro são inteiros positivos.
Regras que convém lembrar
Uma decomposição com denominador repetido deixa de ser egípcia, ainda que a soma esteja certa: 2/3 = 1/3 + 1/3 é uma igualdade verdadeira, mas não é egípcia porque repete o 1/3; já 2/3 = 1/2 + 1/6 é. A forma contínua também tem um detalhe. Uma lista que termina em 1 pode ser reescrita com o coeficiente anterior aumentado em uma unidade, e a forma canônica é a que não termina em 1. As duas ferramentas, ligadas acima, aplicam esses passos a qualquer racional.
Pratique
- Calcule o valor de [0; 1, 3].
- Escreva 7/12 como soma de duas frações unitárias diferentes.
- Confira que 1/4 + 1/28 vale 2/7.
Ver as respostas
- 1/(1 + 1/3) = 1/(4/3) = 3/4.
- 7/12 = 1/3 + 1/4, porque 4/12 + 3/12 = 7/12.
- 7/28 + 1/28 = 8/28 = 2/7.
Fontes
A definição de fração contínua, a finitude da contínua de um racional e a expansão infinita dos irracionais coincidem com Fração contínua, Wikipédia em português, consultada em 17 de outubro de 2026.