Pecahan berlanjut menulis bilangan sebagai rangkaian kebalikan yang bertingkat; pemotongan rangkaian itu menghasilkan konvergen. Pecahan Mesir menulis bilangan rasional positif sebagai jumlah pecahan satuan berbeda, yaitu pecahan berpembilang 1. Kedua bentuk ini mempertahankan nilai jika lengkap, tetapi susunan dan kegunaannya berbeda.
Membaca pecahan berlanjut
Notasi [a₀; a₁, a₂] berarti a₀ + 1/(a₁ + 1/a₂). Pada pecahan berlanjut sederhana, a₀ adalah bilangan bulat dan koefisien berikutnya adalah bilangan bulat positif. Hitung dari koefisien paling kanan ke kiri; titik koma dan koma menandai struktur pecahan bertingkat, bukan daftar penjumlahan.
Untuk menguraikan 43/19, lakukan pembagian berulang:
- 43 = 2 × 19 + 5
- 19 = 3 × 5 + 4
- 5 = 1 × 4 + 1
- 4 = 4 × 1 + 0
Hasil baginya adalah 43/19 = [2; 3, 1, 4]. Pemotongan setelah tiap koefisien memberi konvergen berikut:
| Koefisien yang dipakai | Konvergen | Nilai desimal |
|---|---|---|
| [2] | 2/1 | 2 |
| [2; 3] | 7/3 | ≈ 2,333… |
| [2; 3, 1] | 9/4 | 2,25 |
| [2; 3, 1, 4] | 43/19 | ≈ 2,263157… |
Konvergen awal tidak selalu meningkat atau menurun menuju nilai akhir: pada contoh ini, 7/3 lebih besar dan 9/4 lebih kecil daripada 43/19. Konvergen terakhir merekonstruksi pecahan awal tepat. Periksa dari kanan: 1 + 1/4 = 5/4; 3 + 1/(5/4) = 19/5; lalu 2 + 1/(19/5) = 43/19. Kalkulator pecahan berlanjut menguraikan bilangan rasional atau menyusun ulang koefisien berhingga.
Menguraikan pecahan menjadi pecahan Mesir
Pecahan satuan berbentuk 1/n dengan n bilangan bulat positif. Uraian Mesir menjumlahkan pecahan satuan dengan penyebut berbeda. Contohnya, 3/4 = 1/2 + 1/4 karena 2/4 + 1/4 = 3/4.
Metode greedy memilih, pada setiap langkah, pecahan satuan terbesar yang tidak melebihi sisa. Jika sisa adalah n/d, penyebut yang dipilih ialah ⌈d/n⌉, yaitu bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari d/n. Kurangi pecahan itu secara eksak dan ulangi sampai sisanya nol. Metode ini menghasilkan suatu uraian, tetapi tidak menjamin jumlah suku paling sedikit.
Untuk 5/6, ceil(6/5) = 2, jadi suku pertama 1/2. Sisanya 5/6 − 1/2 = 1/3, yang menjadi suku berikutnya. Maka 5/6 = 1/2 + 1/3; pemeriksaan dengan perenam memberi 3/6 + 2/6 = 5/6.
Contoh dengan lebih banyak langkah adalah 4/13. Metode greedy mengikuti sisa saat ini sampai sisanya nol:
| Sisa saat ini | Pecahan satuan terpilih | Sisa baru |
|---|---|---|
| 4/13 | 1/4 | 3/52 |
| 3/52 | 1/18 | 1/468 |
| 1/468 | 1/468 | 0 |
Jadi 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468. Dengan penyebut bersama 468, jumlahnya 117/468 + 26/468 + 1/468 = 144/468 = 4/13.
Uraian tidak selalu tunggal: nilai yang sama juga dapat ditulis 4/13 = 1/4 + 1/20 + 1/130, sebab dengan penyebut 260 jumlahnya 65/260 + 13/260 + 2/260 = 80/260 = 4/13. Metode greedy memilih satu bentuk berdasarkan aturan langkah, bukan bentuk terpendek atau satu-satunya. Kalkulator pecahan Mesir menunjukkan setiap suku dan sisa eksaknya.
Membandingkan kedua cara penulisan
Bilangan 3/4 dapat ditulis sebagai pecahan berlanjut [0; 1, 3], sebab 1/(1 + 1/3) = 3/4. Konvergen berurutannya adalah 0, 1, dan 3/4. Sebagai pecahan Mesir, nilainya 3/4 = 1/2 + 1/4. Pada bentuk pertama, angka 1 dan 3 menjadi koefisien dalam kebalikan bertingkat; pada bentuk kedua, penyebut 2 dan 4 menjadi bagian-bagian yang dijumlahkan.
Jika nilai yang tersedia adalah desimal dan tujuannya mencari pecahan sederhana dengan penyebut terbatas, pendekatan desimal ke pecahan menampilkan pecahan kandidat beserta galat eksaknya. Pendekatan itu tidak otomatis membuktikan pecahan mana yang dimaksud sebagai nilai rasional eksak.
Bilangan positif yang lebih besar dari 1 dapat dipisahkan menjadi bagian bulat dan pecahan. Contohnya, 7/4 = 1 + 3/4 = 1 + 1/2 + 1/4. Pecahan Mesir di sini digunakan untuk bagian pecahannya; kalkulator menerima nol sebagai jumlah kosong bernilai 0 dan menolak nilai negatif.
Batas dan kesalahan yang perlu diperhatikan
- Menyamakan daftar koefisien dengan penjumlahan: [2; 3, 1] berarti pecahan bertingkat, bukan 2 + 3 + 1.
- Menganggap konvergen awal sebagai nilai tepat: hanya konvergen terakhir yang mengembalikan pecahan masukan berhingga secara eksak.
- Mengulang penyebut dalam uraian Mesir: 2/3 = 1/3 + 1/3 adalah jumlah yang benar, tetapi bukan uraian Mesir dengan penyebut berbeda. Salah satu uraian yang memenuhi syarat adalah 2/3 = 1/2 + 1/6.
- Menganggap metode greedy paling singkat: aturan memilih suku berikutnya tidak membuktikan bahwa jumlah sukunya minimum.
- Mengabaikan sisa saat alat mencapai batas: kalkulator pecahan Mesir membatasi keluaran hingga 25 suku. Jika berhenti sebelum sisa nol, jumlah parsial ditambah sisa eksak tetap harus sama dengan nilai awal.
Kalkulator pecahan berlanjut menerima bilangan rasional dengan bagian angka sampai 100 digit dan daftar hingga 200 koefisien; kalkulator tersebut tidak mencari ekspansi tak berhingga untuk bilangan irasional. Kalkulator pecahan Mesir membatasi uraian hingga 25 suku dan penyebut satuan hingga 1.000 digit. Jika batas tercapai sebelum sisa menjadi nol, hasil yang benar tetap berupa jumlah parsial ditambah sisa eksak.
Baca koefisien sebagai langkah yang berbeda
Dalam pecahan berlanjut sederhana, setiap koefisien setelah yang pertama berada di dalam kebalikan. Mulailah dari kanan dan pertahankan tanda kurung: pada [2; 3, 1, 4], bagian akhir 1 + 1/4 menjadi 5/4; bagian sebelumnya adalah 3 + 4/5 = 19/5; di awal, 2 + 5/19 menghasilkan 43/19. Konvergen terakhir dari daftar berhingga menghasilkan rasional tersebut secara eksak.
Bentuk kanonis berakhir dengan koefisien lebih besar dari 1, kecuali daftarnya hanya memiliki satu koefisien. Contohnya, [2; 3, 1, 4] dan [2; 3, 1, 3, 1] memiliki nilai sama, tetapi yang pertama kanonis. Jangan membaca potongan perantara sebagai suku penjumlahan: semuanya adalah kebalikan bertingkat, bukan 2+3+1+4.
Hitung konvergen tanpa menganggapnya sebagai suku penjumlahan
Pecahan juga dapat dibentuk kembali dengan relasi berulang. Untuk koefisien a₀, a₁, …, mulai dengan p₋₂ = 0, p₋₁ = 1, q₋₂ = 1, dan q₋₁ = 0; lalu hitung pₙ = aₙpₙ₋₁ + pₙ₋₂ dan qₙ = aₙqₙ₋₁ + qₙ₋₂. Untuk [2; 3, 1, 4], konvergen berturut-turut adalah 2/1, 7/3, 9/4, dan 43/19. Sebagai contoh, pembilang terakhir adalah 4 × 9 + 7 = 43 dan penyebutnya 4 × 4 + 3 = 19.
Periksa dua suku berurutan dengan perkalian silang: 7 × 4 − 9 × 3 = 1 dan 9 × 19 − 43 × 4 = −1. Hubungan ini menegaskan bahwa keduanya berurutan dalam ekspansi yang sama; bukan berarti keduanya dijumlahkan. Pembagian Euclid memeriksa jalur sebaliknya dari 43/19 ke koefisiennya. Gunakan relasi berulang untuk mengecek daftar yang lebih panjang sambil mengingat bahwa setiap konvergen adalah pecahan eksak.
Mengapa setiap pengurangan tetap eksak dan berakhir
Untuk sisa positif yang kurang dari satu a/b, pilih k = ⌈b/a⌉. Maka 1/k tidak melebihi a/b dan merupakan pecahan satuan terbesar yang muat; sisa baru adalah a/b − 1/k = (ak − b)/(bk). Jika tidak nol, pembilang ak − b positif dan lebih kecil dari a karena k adalah bilangan bulat terkecil yang mencapai b/a. Menyederhanakan pecahan hanya dapat membuat pembilang ini lebih kecil. Karena itu, untuk bilangan rasional positif, sisa eksak akhirnya mencapai nol: bilangan bulat positif berkurang pada setiap langkah.
Untuk 4/13, k = 4 menyisakan 3/52; kemudian k = 18 menyisakan 1/468; pecahan satuan terakhir menghapus sisa itu secara eksak. Karena setiap sisa baru lebih kecil dari 1/k, pecahan satuan berikutnya, jika diperlukan, memiliki penyebut lebih besar dari k. Inilah alasan penyebutnya berbeda tanpa mengubah atau membulatkan nilai.
Koefisien terakhir 1 mengubah daftar, bukan bilangan rasionalnya
Pembagian bulat dapat menghasilkan daftar lain untuk bilangan yang sama ketika koefisien terakhirnya 1. Contohnya, 5 = 2 × 2 + 1 dan 2 = 2 × 1 + 0, sehingga 5/2 = [2; 2] = 2 + 1/2. Daftar [2; 1, 1] juga bernilai 2 + 1/(1 + 1) = 5/2. Bentuk kanonisnya adalah [2; 2], dengan koefisien terakhir lebih besar dari 1. Secara umum, akhiran …, b, 1 dapat digabung menjadi …, b + 1.
Potongan antara juga berubah: [2; 1] = 3, sedangkan [2; 2] langsung bergerak dari 2 ke 5/2. Saat membandingkan daftar, hitung kembali setiap nilai lengkap dan periksa secara terpisah arti konvergen-konvergen sebelumnya.
Periksa representasi lengkap dan batasnya
- Rekonstruksi: membalik langkah dari kanan, [2; 3, 1, 4] kembali menjadi 43/19.
- Potongan antara: [2; 3] = 2 + 1/3 = 7/3; ini konvergen, bukan nilai akhir 43/19.
- Jumlah pecahan satuan: 1/4 + 1/18 + 1/468 = (117+26+1)/468 = 144/468 = 4/13.
- Sisa: jika penguraian berhenti sebelum tuntas, tulis nilai awal = jumlah parsial + sisa; jangan nyatakan jumlah parsial sebagai kesetaraan lengkap.
Alat pecahan berlanjut menerima bilangan rasional eksak dan daftar berhingga; alat ini tidak mendeteksi periode tak berhingga dari bilangan irasional. Penguraian Mesir di sini berlaku untuk rasional tak negatif, memisahkan bagian bulat terlebih dahulu, dan menggunakan metode greedy. Jika mencapai batas jumlah suku atau ukuran bilangan bulat, pertahankan sisa eksak dan nyatakan bahwa hasilnya belum lengkap.
Bacaan terkait: pecahan aljabar dan persamaan.