Pecahan berlanjut sederhana menulis bilangan rasional sebagai bilangan bulat yang diikuti rangkaian kebalikan bertingkat. Kalkulator ini dapat menguraikan nilai rasional menjadi koefisien dan konvergen, atau menyusun kembali nilai eksak dari daftar koefisien. Konvergen terakhir selalu merekonstruksi masukan.
Bagaimana memilih penguraian atau rekonstruksi?
Untuk menguraikan, masukkan bilangan rasional seperti 43/19. Untuk menyusun kembali, masukkan koefisien dalam format a0;a1,a2,…, misalnya 2;3,1,4. Koefisien pertama boleh negatif atau nol. Koefisien selanjutnya harus bilangan bulat positif. Jika daftar memiliki lebih dari satu koefisien, koefisien terakhir harus lebih dari 1 agar bentuk berhingga yang dipakai kanonis.
Masukan bilangan rasional menerima bilangan bulat, pecahan, desimal, dan bilangan campuran; tiap bagian angka dibatasi 100 digit. Daftar koefisien dibatasi 200 angka, masing-masing sampai 100 digit. Nilai negatif diuraikan menggunakan pembagian lantai, bukan pemotongan menuju nol. Alat ini menerima bilangan rasional eksak; alat ini tidak menghitung ekspansi tak berhingga untuk bilangan irasional.
Contoh: menguraikan 43/19
Ulangi pembagian hingga sisanya nol. Urutan hasil bagi membentuk [2;3,1,4], yaitu 2+1/(3+1/(1+1/4)).
| Pembagian bersisa | Koefisien | Konvergen |
|---|---|---|
| 43 = 2 × 19 + 5 | 2 | 2/1 |
| 19 = 3 × 5 + 4 | 3 | 7/3 |
| 5 = 1 × 4 + 1 | 1 | 9/4 |
| 4 = 4 × 1 + 0 | 4 | 43/19 |
Setiap konvergen memakai semua koefisien hingga baris tersebut. Tiga konvergen pertama mendekati 43/19; hanya yang terakhir yang memulihkan nilai tepatnya. Memasukkan 2;3,1,4 pada mode penyusunan kembali menghasilkan pecahan 43/19.
Mengapa bentuk berhingga harus kanonis?
Daftar [2;3,1] dan [2;4] mewakili nilai yang sama. Karena itu, bila ada lebih dari satu koefisien, bentuk kanonis tidak berakhir dengan 1. Konvergen awal berguna sebagai pendekatan rasional berurutan, tetapi alat ini tidak menjanjikan ekspansi periode untuk nilai irasional.
Untuk pendekatan desimal dengan penyebut terbatas, gunakan kalkulator pendekatan desimal ke pecahan. Untuk representasi berupa jumlah pecahan satuan, lihat pecahan Mesir; untuk mengubah pecahan menjadi bentuk desimal, buka kalkulator pecahan ke desimal.
Acuan ekspansi berhingga
| Nilai | Koefisien kanonis | Konvergen terakhir |
|---|---|---|
| 3 | [3] | 3 |
| 1/2 | [0; 2] | 1/2 |
| 7/3 | [2; 3] | 7/3 |
| −7/3 | [−3; 1, 2] | −7/3 |
| 43/19 | [2; 3, 1, 4] | 43/19 |
Pembagian bersisa berulang menghasilkan koefisien; rekonstruksi balik menghasilkan nilai yang sama. Sebagai contoh kedua, 7=2×3+1 dan 3=3×1 memberi [2;3], yaitu 2+1/3=7/3.
Pertanyaan umum
Bagaimana menguraikan 43/19 menjadi pecahan berlanjut?
Pilih penguraian dan masukkan 43/19. Pembagian bersisa menghasilkan koefisien dua, tiga, satu, dan empat. Hasilnya “2; 3, 1, 4”, dengan konvergen terakhir 43/19. Konvergen awal merupakan pendekatan, bukan semua sama dengan nilai awal.
Bagaimana menulis daftar koefisien untuk rekonstruksi pecahan berlanjut?
Gunakan format koefisien pertama, titik koma, lalu koefisien berikutnya dipisahkan koma. Misalnya 2;3,1,4 merekonstruksi 43/19. Koma di kolom ini adalah pemisah daftar, bukan tanda desimal; seluruh koefisien harus berupa bilangan bulat.
Kapan koefisien pertama pecahan berlanjut boleh negatif?
Koefisien pertama dapat negatif ketika nilai masukan negatif. Pada −7/3, koefisien pertama negatif tiga, lalu satu dan dua. Koefisien setelah yang pertama tetap positif agar bentuk pecahan berlanjut sederhana sesuai aturan yang didukung.
Bagaimana memasukkan bilangan bulat pada pecahan berlanjut?
Masukkan bilangan itu pada mode penguraian atau sebagai daftar satu koefisien pada mode rekonstruksi. Misalnya tiga mempunyai bentuk “3” dan satu konvergen bernilai tiga. Aturan koefisien akhir lebih dari satu tidak berlaku pada daftar tunggal.
Bagaimana konvergen 43/19 dibentuk dari koefisiennya?
Gunakan awalan daftar secara berurutan: “2” memberi dua, “2;3” memberi 7/3, “2;3,1” memberi 9/4, dan daftar lengkap memberi 43/19. Setiap konvergen memanfaatkan satu koefisien tambahan sehingga rekonstruksi terakhir memakai seluruh informasi masukan.
Mengapa pembagian lantai diperlukan untuk pecahan berlanjut negatif?
Pembagian lantai memberi bagian bulat tidak lebih besar daripada nilainya sehingga sisa tidak negatif. Untuk −7/3, tulis −3 + 2/3, bukan −2 − 1/3. Sisa positif memungkinkan koefisien lanjutan tetap positif dalam bentuk sederhana.
Mengapa daftar kanonis tidak boleh berakhir dengan satu?
Akhiran satu dapat digabung ke koefisien sebelumnya dan menghasilkan representasi berhingga lain dengan nilai sama. Misalnya “2;3,1” sama dengan “2;4”. Syarat koefisien akhir lebih dari satu memilih satu bentuk standar untuk daftar yang tidak tunggal.
Bagaimana rekonstruksi memastikan nilai pecahan berlanjut eksak?
Koefisien diproses dengan perkalian dan penjumlahan bilangan bulat untuk membentuk pembilang serta penyebut konvergen. Tidak diperlukan pembulatan desimal. Pada daftar lengkap 2;3,1,4, pasangan akhirnya adalah empat puluh tiga dan sembilan belas, yaitu 43/19.
Apakah semua konvergen sama dengan pecahan asal?
Tidak. Konvergen awal memakai sebagian koefisien dan dapat berbeda dari masukan. Untuk 43/19, konvergen 9/4 masih berbeda, sedangkan 43/19 memulihkan nilai tepat. Gunakan seluruh daftar jika tujuan Anda rekonstruksi eksak, bukan pendekatan.
Apakah kalkulator pecahan berlanjut menguraikan akar dua tanpa akhir?
Tidak. Alat ini menangani rasional eksak dan daftar berhingga yang didukung. Digit desimal berhingga dari akar dua menjadi rasional pendekatan, bukan akar dua eksak. Jangan menganggap ekspansi hasilnya sebagai pendeteksian periode bilangan irasional.
Apa batas panjang daftar pecahan berlanjut yang dapat direkonstruksi?
Daftar menerima satu hingga dua ratus koefisien, masing-masing paling banyak seratus digit. Koefisien lanjutan harus positif dan bentuk akhir harus kanonis. Daftar yang melampaui batas ditolak; penolakan tidak menyatakan bahwa nilai matematisnya tidak ada.
Kapan memakai pendekatan desimal daripada konvergen pecahan berlanjut?
Gunakan pendekatan desimal ketika Anda membutuhkan kandidat terbaik dengan batas penyebut atau toleransi tertentu. Konvergen memperlihatkan representasi bertingkat dan urutan pendekatan dari koefisien. Kedua alat mempertahankan nilai rasional, tetapi tidak menjawab batas pilihan yang sama.