Elige «Expandir una fracción» para obtener los coeficientes y los convergentes, o «Reconstruir desde coeficientes» para el camino inverso. Escribe la fracción como a/b (valen enteros, mixtos y decimales exactos) o los coeficientes como a0;a1,a2,…, por ejemplo 2;3,1,4. Para comparar esta forma con la suma de fracciones unitarias, lee otras representaciones de fracciones.
Ejemplo resuelto: expandir 43/19
Escribe esta fracción como fracción continua y halla sus convergentes.
- Primera división. 43 = 2 × 19 + 5, así que el primer coeficiente es 2.
- Invierte el resto. Ahora se divide 19 entre 5: 19 = 3 × 5 + 4, y el coeficiente es 3.
- Repite. 5 = 1 × 4 + 1 da el coeficiente 1.
- Hasta resto 0. 4 = 4 × 1 + 0 da el coeficiente 4, y el proceso termina.
- Corta la lista tras cada coeficiente para obtener los convergentes: 2, 2 + 1/3, 2 + 1/(3 + 1/1) y, con los cuatro, la fracción completa.
Resultado: 43/19 = [2; 3, 1, 4], con convergentes 2, 7/3, 9/4 y la propia fracción.
Comprobación: de dentro hacia fuera, 1 + 1/4 = 5/4; 3 + 4/5 = 19/5; 2 + 5/19 = 43/19.
Cómo se calculan los convergentes
Con los coeficientes a0, a1, a2… basta una recurrencia para obtener cada convergente sin deshacer las fracciones anidadas. Se parte de p₋₁/q₋₁ = 1/0 y p₀/q₀ = a0/1, y después pk = ak · pk−1 + pk−2 y qk = ak · qk−1 + qk−2. Todas las cuentas son enteras y exactas.
| k | Coeficiente | pk y qk | Convergente |
|---|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 y 1 | 2 |
| 1 | 3 | 3 · 2 + 1 = 7 y 3 · 1 + 0 = 3 | 7/3 |
| 2 | 1 | 1 · 7 + 2 = 9 y 1 · 3 + 1 = 4 | 9/4 |
| 3 | 4 | 4 · 9 + 7 = 43 y 4 · 4 + 3 = 19 | 43/19 |
Cada fila solo necesita las dos anteriores, y la última devuelve el numerador y el denominador de partida, que es la comprobación de que la expansión es correcta.
Qué tan buenos son los convergentes
Todo convergente p/q, salvo el primero cuando a1 = 1, es mejor que cualquier otra fracción con denominador menor o igual que q. La excepción es real: 11/4 empieza por 2, pero 3 queda más cerca de 2,75 y tiene el mismo denominador. Con el valor del ejemplo, ≈ 2,2632 (redondeado a cuatro decimales), el convergente 7/3 está a 4/57 ≈ 0,070, y con denominador 1, 2 o 3 nada lo mejora: 5/2, por ejemplo, está a 0,237. El convergente 9/4 está a solo 1/76 ≈ 0,013 y gana a cualquier fracción de denominador hasta 4.
Los convergentes se alternan a ambos lados del valor: 2 queda por debajo, el siguiente por encima y 9/4 otra vez por debajo. Entre dos convergentes consecutivos pueden caber fracciones más cercanas que el primero, los semiconvergentes, que esta lista no recoge; para buscar con un denominador máximo dado, usa aproximar decimal a fracción. Un ejemplo famoso de esta técnica son las fracciones que aproximan π.
La Wikipedia en español, en su artículo Fracción continua, señala que la fracción continua de un número real es finita si y solo si el número es racional, y llama «reducidas» a lo que aquí se llaman convergentes (consultado el 16 de octubre de 2026).
Fracciones continuas de algunos valores
La tabla reúne casos que se pueden comprobar en la calculadora, con los convergentes en orden.
| Valor | Fracción continua | Convergentes |
|---|---|---|
| 3/5 | [0; 1, 1, 2] | 0, 1, 1/2, 3/5 |
| 11/4 | [2; 1, 3] | 2, 3, 11/4 |
| 13/8 | [1; 1, 1, 1, 2] | 1, 2, 3/2, 5/3, 13/8 |
| 41/29 | [1; 2, 2, 2, 2] | 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29 |
Dos patrones saltan a la vista: 13/8 es un cociente de números de Fibonacci consecutivos y su lista está formada casi solo por unos, y 41/29 es un convergente de √2 = [1; 2, 2, 2, …], cuyos convergentes son 3/2, 7/5, 17/12, 41/29… Ninguno de ellos es igual a √2, porque √2 es irracional y la calculadora solo admite racionales.
Números negativos
Con un negativo se usa la división con piso, que redondea hacia abajo y deja el resto positivo. Truncar hacia cero da otro resultado, con un coeficiente negativo que la calculadora no acepta después del primero.
Dónde seguir
Los coeficientes son los cocientes del algoritmo de Euclides, que explica la guía del algoritmo de Euclides. Para comparar esta forma con la de suma de fracciones unitarias, mira otras representaciones de fracciones y la calculadora de fracciones egipcias. Si necesitas el valor decimal de un convergente, usa fracción a decimal. Una expresión con numeradores distintos de 1, como 1 + 2/(3 + 4/5), se calcula en operaciones combinadas.
Fuentes
La Wikipedia en español, artículo Fracción continua, explica cómo se calcula el desarrollo separando la parte entera e invirtiendo la parte restante una y otra vez, y define las reducidas, que esta página llama convergentes, con su fórmula de recurrencia (consultado el 24 de octubre de 2026). Es una obra de consulta general, no un texto curricular.
Preguntas frecuentes
¿Por qué algunas fracciones continuas empiezan por 0 o tienen un solo coeficiente?
El primer coeficiente es la parte entera. Una fracción entre 0 y 1, como 3/10, empieza por 0 y se escribe 0; 3, 3, porque 3/10 = 1/(3 + 1/3). Un entero como 6 no deja resto, así que su expansión es solo 6 y su único convergente es el propio 6.
¿Por qué una lista que termina en 1 equivale a otra con el coeficiente anterior aumentado en 1?
Porque an + 1/1 = an + 1: un último coeficiente 1 se suma al anterior. Por ejemplo, la lista 3; 1, 1 vale 3 + 1/(1 + 1/1) = 3 + 1/2 = 7/2, y la lista 3; 2 vale 3 + 1/2 = 7/2 también. Las dos listas son la misma fracción; la calculadora muestra solo la segunda.
¿Cómo uso los convergentes para aproximar un decimal como 3,14?
Escribe 3,14 como 157/50 y expándela: 3; 7, 7. El convergente intermedio es 22/7, que está a 1/350 de 3,14, y ninguna fracción con denominador hasta 7 queda más cerca. El último, 157/50, es exacto. Para fijar un denominador máximo cualquiera, usa aproximar decimal a fracción.