La fracción 355/113 (denominador de tres cifras) está a solo ≈ 2,67 × 10⁻⁷ de π, unas 4740 veces más cerca que 22/7 (≈ 1,26 × 10⁻³). Ninguna fracción iguala a π, pero ninguna con denominador menor que 16 604 la mejora. Aquí ves qué fracción te conviene según el denominador que puedas usar y por qué rinde tanto la de tres cifras.
La mejor fracción según el denominador máximo
«Mejor» necesita un criterio. Aquí significa la fracción de menor error con denominador no mayor que un límite N. La respuesta cambia por tramos, y la herramienta para aproximar un decimal a fracción hace esta búsqueda con el límite que elijas.
| Denominador máximo N | Mejor fracción | Error frente a π |
|---|---|---|
| de 7 a 56 | 22/7 ≈ 3,142857 | ≈ 1,26 × 10⁻³, por encima |
| de 99 a 105 | 311/99 ≈ 3,141414 | ≈ 1,79 × 10⁻⁴, por debajo |
| de 106 a 112 | 333/106 ≈ 3,141509 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵, por debajo |
| de 113 a 16 603 | 355/113 ≈ 3,141593 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷, por encima |
| de 33 102 a 33 214 | 103993/33102 ≈ 3,14159265 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰, por debajo |
La tabla deja fuera los límites de 1 a 6 y de 57 a 98. Entre 57 y 98 mandan fracciones intermedias como 289/92, y entre 99 y 105 manda 311/99, que no es un convergente de π. El tramo de 355/113 es larguísimo: durante más de 16 000 denominadores posibles nada la mejora de forma apreciable. La siguiente que la supera, 52163/16604, solo baja el error de ≈ 2,668 × 10⁻⁷ a ≈ 2,662 × 10⁻⁷. Entre 16 604 y 33 101 siguen mandando otras fracciones, y para N = 33 101 la mejor es 103638/32989 (error ≈ 1,49 × 10⁻⁹), no 103993/33102, que solo entra en N = 33 102. Tampoco se queda como la mejor: desde N = 33 215 la supera 104348/33215, con un error de ≈ 3,32 × 10⁻¹⁰.
Cuánto separan las dos más conocidas
Las dos fracciones se pueden restar con exactitud, sin pasar por π.
Ejemplo resuelto: la distancia entre las dos
¿Cuánto se separan la fracción escolar y la de denominador 113?
- Busca el denominador común. 7 y 113 no comparten factores, así que sirve 7 × 113 = 791.
- Convierte. 22/7 = 2486/791 y la otra, 2485/791.
- Resta los numeradores. 2486 − 2485 = 1.
La distancia es 1/791 ≈ 0,00126.
Comprobación: 3,142857 − 3,141593 = 0,001264, y 1 ÷ 791 ≈ 0,001264.
La diferencia 1/791 también tiene la forma 1 sobre el producto de los denominadores (7 × 113), pero la escolar y la de tres cifras no son convergentes vecinos: entre ellos está 333/106. Sí lo son 355/113 y 333/106, y por eso su resta es 1/11978, con 11 978 = 106 × 113. Como la primera está por encima de π y la segunda por debajo, π queda atrapado entre las dos, y por eso sabes que el error de cualquiera de ellas es menor que esa diferencia.
Los convergentes de π
Un convergente es lo que queda al cortar la fracción continua de π, [3; 7, 15, 1, 292, …], y calcular el valor del trozo. Los puntos suspensivos indican que la cadena no termina, y que no se repite. La calculadora de fracciones continuas hace ese corte para cualquier racional.
| Coeficientes | Convergente | Error frente a π | Lado |
|---|---|---|---|
| [3] | 3 | ≈ 1,42 × 10⁻¹ | por debajo |
| [3; 7] | 22/7 | ≈ 1,26 × 10⁻³ | por encima |
| [3; 7, 15] | 333/106 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵ | por debajo |
| [3; 7, 15, 1] | 355/113 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷ | por encima |
| [3; 7, 15, 1, 292] | 103993/33102 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰ | por debajo |
Los convergentes caen alternando un lado y otro de π, y el error se encoge cada vez. El salto de 333/106 a la siguiente es el más rentable, porque el error baja de ≈ 8,32 × 10⁻⁵ a ≈ 2,67 × 10⁻⁷ y el denominador apenas crece, de 106 a 113.
El 292 y la precisión de la fracción de tres cifras
El error de un convergente es casi 1 dividido entre su denominador y el siguiente. Para el de denominador 113, el siguiente denominador es el de 103993/33102, y 1 ÷ (113 × 33 102) ≈ 2,67 × 10⁻⁷, que coincide con el error real. Un coeficiente grande dispara el denominador siguiente: con el 292 se pasa de 113 a 33 102, y por eso el convergente anterior queda tan pegado a π. Con un coeficiente pequeño, como el 1 que precede al 292, el denominador siguiente crece poco y la mejora es pequeña.
Con medidas, una circunferencia de diámetro 1000 mide 3141,592654 unidades. Con la de denominador 113 sale 3141,592920, una diferencia de ≈ 0,000267. Con la escolar sale 3142,857143, que se pasa en ≈ 1,26.
3,14 es peor que la fracción escolar
3,14 es la fracción 157/50, y se escribe tanto que parece más fina de lo que es. Su error es ≈ 1,59 × 10⁻³, mayor que el de la fracción escolar (≈ 1,26 × 10⁻³). Se queda por debajo de π, y la escolar por encima. Para pasar entre decimales y fracciones están la conversión de fracción a decimal y la de decimal a fracción. Convierten 3,14 en 157/50 exactamente. La guía de decimales exactos y periódicos explica por qué el decimal 3,(142857) de la fracción escolar se repite y el de π no.
Ninguna fracción es igual a π
Johann Heinrich Lambert demostró que π es irracional, en 1761 según la Wikipedia en español (que da también 1767 como fecha alternativa). Irracional quiere decir que no existe ninguna fracción de enteros igual a π, así que toda aproximación tiene un error mayor que cero, y por eso entre una de estas fracciones y π debe ir ≈ y no =.
La Wikipedia en español recoge que Arquímedes situó π entre 3 10/71 y 3 1/7, es decir, entre 223/71 y la fracción escolar. El mismo artículo atribuye a Zu Chongzhi las fracciones 22/7 y la de denominador 113, y dice que esta última no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV.
Cuál elegir según el uso
Para estimar de cabeza, 3 o la fracción escolar. Para una cuenta a mano con seis decimales buenos, la de tres cifras. Para un programa que necesite una fracción muy precisa, 103993/33102 (con denominadores de hasta 33 214; si admites más, 104348/33215 la mejora). Si el resultado final debe ser exacto, deja el símbolo π en la expresión en lugar de sustituirlo. Otro irracional que también se aproxima con fracciones es el número áureo, que tienes en el artículo del número áureo y Fibonacci.
Esta página se apoya en el artículo Número π, secciones sobre la Antigüedad clásica, la matemática china y el número irracional de la Wikipedia en español (consultado el 16 de octubre de 2026).