A fração 355/113 (denominador de três algarismos) fica a apenas ≈ 2,67 × 10⁻⁷ de π, cerca de 4740 vezes mais perto que 22/7 (≈ 1,26 × 10⁻³). Nenhuma fração é igual a π, mas nenhuma com denominador menor que 16.604 a supera. Aqui se vê qual fração convém conforme o denominador que for possível usar e por que a de três algarismos rende tanto.
A melhor fração segundo o denominador máximo
“Melhor” precisa de um critério. Aqui significa a fração de menor erro com denominador não maior que um limite N. A resposta muda por trechos, e a ferramenta para aproximar um decimal por uma fração faz essa busca com o limite escolhido.
| Denominador máximo N | Melhor fração | Erro em relação a π |
|---|---|---|
| de 7 a 56 | 22/7 ≈ 3,142857 | ≈ 1,26 × 10⁻³, por excesso |
| de 99 a 105 | 311/99 ≈ 3,141414 | ≈ 1,79 × 10⁻⁴, por defeito |
| de 106 a 112 | 333/106 ≈ 3,141509 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵, por defeito |
| de 113 a 16.603 | 355/113 ≈ 3,141593 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷, por excesso |
| de 33.102 a 33.214 | 103993/33102 ≈ 3,14159265 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰, por defeito |
A tabela deixa de fora os limites de 1 a 6 e de 57 a 98. Entre 57 e 98 prevalecem frações intermediárias como 289/92, e entre 99 e 105 a melhor é 311/99, que não é uma convergente de π. O trecho de 355/113 é longuíssimo: ao longo de mais de 16.000 denominadores possíveis, nada a melhora de forma apreciável. A seguinte que a supera, 52163/16604, só reduz o erro de ≈ 2,668 × 10⁻⁷ para ≈ 2,662 × 10⁻⁷. Entre 16.604 e 33.101 continuam melhores outras frações, e para N = 33.101 a melhor é 103638/32989 (erro ≈ 1,49 × 10⁻⁹), não 103993/33102, que só entra em N = 33.102. Mas a fração 103993/33102 também deixa de ser a melhor: a partir de N = 33.215 é superada por 104348/33215, com erro de ≈ 3,32 × 10⁻¹⁰.
Quanto as duas mais conhecidas se separam
As duas frações podem ser subtraídas com exatidão, sem passar por π.
Exemplo resolvido: a distância entre as duas
Quanto se separam a fração escolar e a de denominador 113?
- Ache o denominador comum. 7 e 113 não têm fatores em comum, então serve 7 × 113 = 791.
- Converta. 22/7 = 2486/791 e a outra, 2485/791.
- Subtraia os numeradores. 2486 − 2485 = 1.
A distância é 1/791 ≈ 0,00126.
Verificação: 3,142857 − 3,141593 = 0,001264, e 1 ÷ 791 ≈ 0,001264.
A diferença 1/791 também tem a forma 1 sobre o produto dos denominadores (7 × 113), mas a escolar e a de três algarismos não são convergentes vizinhas: entre elas está 333/106. Já 355/113 e 333/106 são vizinhas, e por isso a subtração delas dá 1/11.978, com 11.978 = 106 × 113. Como a primeira fica acima de π e a segunda abaixo, π fica preso entre as duas, e daí se sabe que o erro de qualquer uma delas é menor que essa diferença.
As convergentes de π
Uma convergente é o que sobra ao cortar a fração contínua de π, [3; 7, 15, 1, 292, …], e calcular o valor do trecho. As reticências indicam que a cadeia não termina e não se repete. A calculadora de frações contínuas faz esse corte para qualquer racional.
| Coeficientes | Convergente | Erro em relação a π | Lado |
|---|---|---|---|
| [3] | 3 | ≈ 1,42 × 10⁻¹ | por defeito |
| [3; 7] | 22/7 | ≈ 1,26 × 10⁻³ | por excesso |
| [3; 7, 15] | 333/106 | ≈ 8,32 × 10⁻⁵ | por defeito |
| [3; 7, 15, 1] | 355/113 | ≈ 2,67 × 10⁻⁷ | por excesso |
| [3; 7, 15, 1, 292] | 103993/33102 | ≈ 5,78 × 10⁻¹⁰ | por defeito |
As convergentes (em Portugal, reduzidas) ficam alternadamente de um lado e do outro de π, e o erro encolhe a cada vez. O salto de 333/106 para a seguinte é o que mais compensa, porque o erro cai de ≈ 8,32 × 10⁻⁵ para ≈ 2,67 × 10⁻⁷ e o denominador mal cresce, de 106 para 113.
O 292 e a precisão da fração de três algarismos
O erro de uma convergente é quase 1 dividido pelo produto do seu denominador pelo seguinte. Para a de denominador 113, o seguinte é o de 103993/33102, e 1 ÷ (113 × 33.102) ≈ 2,67 × 10⁻⁷, que coincide com o erro real. Um coeficiente grande dispara o denominador seguinte: com o 292 passa-se de 113 a 33.102, e por isso a convergente anterior fica tão colada em π. Com um coeficiente pequeno, como o 1 que precede o 292, o denominador seguinte cresce pouco e a melhora é pequena.
Em medidas, uma circunferência de diâmetro 1000 mede 3141,592654 unidades. Com a de denominador 113 dá 3141,592920, uma diferença de ≈ 0,000267. Com a escolar dá 3142,857143, que excede o valor real em ≈ 1,26.
3,14 é pior que a fração escolar
3,14 é a fração 157/50, e é escrito tanto que parece mais fino do que é. Seu erro é ≈ 1,59 × 10⁻³, maior que o da fração escolar (≈ 1,26 × 10⁻³). Ele fica abaixo de π, e a escolar acima. Para passar entre decimais e frações existem a conversão de fração para decimal e a de decimal para fração. Elas transformam 3,14 em 157/50 exatamente. O guia de decimais exatos e periódicos explica por que o decimal 3,142857… da fração escolar se repete (3,1̅4̅2̅8̅5̅7̅, com o bloco 142857 em período) e o de π não.
Nenhuma fração é igual a π
Johann Heinrich Lambert demonstrou que π é irracional, em 1761 segundo a Wikipédia em espanhol (que dá também 1767 como data alternativa). Irracional quer dizer que não existe nenhuma fração de inteiros igual a π, de modo que toda aproximação tem erro maior que zero, e por isso entre uma dessas frações e π se deve escrever ≈ e não =.
Segundo a Wikipédia em espanhol, Arquimedes situou π entre 223/71 e a fração escolar 22/7. O mesmo artigo atribui a Zu Chongzhi a fração escolar e a de denominador 113, e diz que esta última só foi igualada mais de nove séculos depois, no século XV.
Qual escolher conforme o uso
Para estimar de cabeça, 3 ou a fração escolar. Para uma conta à mão com seis casas decimais boas, a de três algarismos. Para um programa que precise de uma fração muito precisa, 103993/33102 (com denominadores de até 33.214; se admitir mais, 104348/33215 a melhora). Se o resultado final deve ser exato, deixe o símbolo π na expressão em vez de substituí-lo. Outro irracional que também se aproxima com frações é o número de ouro, que está no artigo sobre número de ouro e Fibonacci.
Esta página se apoia no artigo Número π, seções sobre a Antiguidade clássica, a matemática chinesa e o número irracional, da Wikipédia em espanhol (consultado em 16 de outubro de 2026).