Escreva um decimal exato e defina o maior denominador que aceita: a ferramenta devolve a fração mais próxima e a distância que a separa do decimal. Se precisa do mesmo valor do decimal, use decimal para fração. Aqui aceita-se que a fração difira um pouco, em troca de ser curta.
Exemplo resolvido: 0,333 com denominador máximo 100
Uma medida arredondada marca 0,333. Que fração com denominador de até 100 mais se parece com ela?
- Escreva o decimal como fração. 0,333 = 333/1000.
- Procure a fração mais próxima com denominador de até 100. A melhor é 1/3.
- Calcule o erro. 1/3 − 333/1000 = 1000/3000 − 999/3000 = 1/3000.
Resultado: 1/3, com erro de 1/3000, ou seja, cerca de 0,000333 unidade.
Verificação: 3 × 0,333 = 0,999, quase 1, mas não 1. Esse milésimo que falta, dividido em três partes, é o 1/3000.
Aproximar não é converter
Converter um decimal exato dá uma fração com a mesma quantidade, sempre com denominador potência de 10 antes de simplificar. Aproximar muda a quantidade de propósito, e por isso o erro faz parte da resposta. Escrever 0,333 = 1/3 sem mais é a confusão mais comum, e corrige-se conferindo o produto.
O que a ferramenta entende por “melhor”
A melhor fração é a de menor distância ao decimal entre todas as que têm denominador menor ou igual ao máximo N. O resultado coincide com o de testar um a um os denominadores de 1 a N.
Para não percorrê-los todos, o decimal é desenvolvido em fração contínua e comparam-se duas candidatas: o último convergente permitido e o maior semiconvergente que cabe. Com 3,14159 e N = 100, o convergente é 22/7 e o semiconvergente é 311/99, que fica mais de sete vezes mais perto. Cada convergente é a melhor aproximação entre as frações com denominador menor ou igual ao seu. Veja os convergentes de qualquer fração em frações contínuas.
Como escolher o denominador máximo
Escolha o menor máximo cujo erro seja aceitável. Aumentá-lo reduz o erro, mas a fração fica mais difícil de ler, e a tabela mostra quanto se ganha em cada salto com o decimal 3,14159.
| Denominador máximo | Melhor fração | Erro em fração | Erro aproximado |
|---|---|---|---|
| 10 | 22/7 | 887/700000 | ≈ 0,00127 |
| 100 | 311/99 | 1741/9900000 | ≈ 0,000176 |
| 1000 | 355/113 | 33/11300000 | ≈ 0,0000029 |
Passar do máximo 10 para 1000 reduz o erro cerca de 430 vezes, em troca de um denominador de três algarismos. Nenhuma dessas frações é igual a π, que é irracional: a tabela aproxima o decimal 3,14159, que já é uma fração, 314159/100000. A história de 355/113 e de outras frações próximas de π está em frações que aproximam π.
Tolerância: quando a melhor fração não basta
No modo de tolerância define-se o erro máximo aceito. A ferramenta procura primeiro a melhor fração dentro do máximo e depois confere se o erro dela cabe. Com 3,14159 e tolerância 0,001, o máximo 10 dá 22/7, que fica em 0,00127 e não cumpre; o máximo 100 dá 311/99 e cumpre.
Quando não cumpre, a ferramenta marca “Limite atingido” e continua mostrando a melhor fração disponível, sem apresentá-la como válida. A tolerância não procura a fração mais simples que a cumpra: o caminho é subir o denominador máximo até o estado mudar.
Casos que convém comparar
Os três casos da tabela mostram o que acontece quando o decimal parece periódico, quando tem parte inteira e quando o máximo é pequeno demais.
| Decimal | Máximo | Fração | Erro |
|---|---|---|---|
| 0,142857 | 10 | 1/7 | 1/7000000 |
| 1,414 | 20 | 24/17 | 19/8500 |
| 0,4 | 2 | 1/2 | 1/10 |
O primeiro termina, embora lembre 1/7 (para uma dízima periódica de verdade há a fração geratriz), e por isso aparece um erro mínimo em vez de zero. O segundo tem parte inteira e dá 24/17, a 19/8500. O terceiro mostra que um máximo muito baixo dá erro grande, e é o sinal para subi-lo.
Outras páginas conforme a necessidade
- Se for preciso o valor exato do decimal, decimal para fração o conserva sem limite de denominador.
- Se o resultado deve ser múltiplo de um passo fixo, como oitavos, arredondar frações trabalha com esse passo.
Perguntas frequentes
Que fração a ferramenta escolhe se duas estão igualmente próximas?
Vence a de menor denominador e, se também coincidir, a de menor numerador. Com 0,45 e máximo 5, as candidatas 2/5 e 1/2 estão ambas a 1/20, e a ferramenta devolve 1/2. Se não quiser que ela decida o desempate, mude o máximo e compare.
É possível aproximar decimais negativos?
Sim. A busca usa o valor absoluto e o sinal volta no fim, de modo que −0,28 com máximo 10 dá −2/7, com erro 1/175. Só os empates dependem do sinal, porque entre duas candidatas igualmente próximas vence a de menor numerador.
Pode sair 0 ou um número inteiro?
Sim, quando o máximo é muito pequeno. Com 0,3 e máximo 1 a melhor opção é 0, a 3/10 de distância, porque 1 fica a 7/10. Um inteiro é uma fração de denominador 1 e concorre como qualquer outra candidata.
O que acontece se o máximo for maior que o denominador do decimal?
A ferramenta devolve o valor exato do decimal, já simplificado, e o erro é 0. Com 0,125 e máximo 50 sai 1/8, porque 0,125 é 125/1000 e simplifica para 1/8, que cabe no limite. Subir o máximo além desse ponto não muda nada.