A fração geratriz de uma dízima periódica é a fração irredutível que, ao dividir o numerador pelo denominador, reproduz essa dízima. Esta página percorre o caminho do infinito para o finito: de 0,1666… a uma fração. Aqui 0,75 escreve-se com vírgula; em países de língua inglesa, escreve-se 0.75. A calculadora aceita as duas.
Exemplo resolvido: 0,1(6)
Que fração dá a dízima 0,1666…, em que o 6 se repete sem fim?
- Chame o número de x. x = 0,1666…
- Desloque duas vezes. 10x = 1,666…, com o antiperíodo (o 1) já na parte inteira, e 100x = 16,666…, com um período completo.
- Subtraia. 100x − 10x = 16,666… − 1,666…, e a cauda 666… desaparece: 90x = 15.
- Isole e simplifique. x = 15/90, e dividindo por 15 sobra 1/6.
Resultado: 0,1(6) = 1/6.
Conferência: 10 ÷ 6 = 1 e sobram 4; 40 ÷ 6 = 6 e sobram 4. O resto 4 se repete, então a divisão dá 0,1666…
Período, antiperíodo e os três tipos de decimal
O período é o bloco de algarismos que se repete sem fim, e o antiperíodo são as casas decimais que aparecem antes dessa repetição. Em 0,16̅, o 1 é o antiperíodo e o 6 é o período. Se o período começa logo depois da vírgula, a dízima é periódica simples; se há antiperíodo, é composta. A parte inteira, quando existe, não muda essa classificação.
| Tipo | Decimal | Conta | Fração |
|---|---|---|---|
| Exato | 0,25 | 25/100 | 1/4 |
| Periódica simples | 0,7̅ | 7/9 | 7/9 |
| Periódica composta | 0,083̅ | (83 − 8)/900 | 1/12 |
| Composta com parte inteira | 2,04̅5̅ | (2045 − 20)/990 | 45/22 |
| Período longo | 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ | 142857/999999 | 1/7 |
No denominador, cada algarismo do período entra com um 9 e cada algarismo do antiperíodo entra com um 0 no fim. Em 2,04̅5̅ há um algarismo de antiperíodo e dois de período, por isso o denominador é 990 e o numerador é 2045 − 20. Um decimal exato, como 0,25, é o caso sem período: escreve-se sobre uma potência de 10 e simplifica-se. Para marcar o período na calculadora, usam-se parênteses, como em 2,0(45).
Por que a subtração elimina a cauda
Multiplicar por uma potência de 10 só desloca a vírgula e não altera os algarismos que vêm depois. Se se escolhem duas potências cuja diferença deixa a mesma cauda periódica nos dois números, ao subtraí-los a parte infinita se anula e resta uma equação com inteiros. Essa é a ideia do exemplo de 0,16̅.
A regra dos noves e zeros é o atalho do mesmo cálculo e serve para conferir o resultado. O numerador é o número formado por todos os algarismos até o fim do primeiro período, menos o formado pelos algarismos anteriores ao período, sem vírgula. Para 0,083̅: (83 − 8)/900 = 75/900 = 1/12. Se o denominador não tem um 9 por algarismo do período, algo deu errado.
Casos que merecem atenção
Com parte inteira não é preciso separá-la: ela entra nos dois números da subtração, como o 2045 e o 20 de 2,04̅5̅. Com sinal negativo, a calculadora acha a fração do valor sem sinal e o aplica no fim, então −0,7̅ dá −7/9.
O caso de 0,9̅ surpreende: a subtração dá 9x = 9, de modo que 0,9̅ = 1. Qualquer decimal com período 9 equivale a um decimal exato, e por isso a calculadora nunca devolve uma fração “quase igual”. Se o decimal tem um algarismo a mais ou a menos, é outro número. O período não se adivinha: 0,1666 pode ser exato ou continuar com qualquer algarismo, e só os parênteses dizem qual.
Qual página usar conforme o decimal
Cada tipo de número tem a ferramenta própria, e convém escolher a que altera menos o que se tem. A tabela reúne os quatro casos.
| Dado | Exemplo | Use |
|---|---|---|
| Período marcado | 0,416̅ | Esta página |
| Decimal exato | 0,375 | Decimal para fração |
| Decimal arredondado de uma medida | 0,3333 | Aproximar um decimal por fração |
| Uma fração, para ver o decimal | 5/12 | Fração para decimal |
A geratriz já sai simplificada. Para ver como se reduz uma fração como 75/900, a ferramenta de simplificar frações mostra o MDC (m.d.c., em Portugal). Quando o resultado é uma fração imprópria, a conversão para número misto a reescreve, e para praticar à mão há a tabela de frações, decimais e porcentagens (percentagens, em Portugal). A OpenStax apresenta os decimais exatos e periódicos como números racionais, em inglês.
Perguntas frequentes
Por que 0,(9) é igual a 1?
Se x = 0,999…, então 10x = 9,999…, e ao subtrair sobra 9x = 9, logo x = 1. Não há arredondamento: entre 0,999… e 1 não cabe nenhum número. O guia de decimais exatos e periódicos desenvolve essa prova e mais duas.
O que acontece se eu escrever 0,333 sem parênteses?
Lê-se como um decimal exato de três casas, que vale 333/1000, e não como 1/3. Se o decimal não se repete, converter é outra tarefa: use decimal para fração. Para indicar a repetição infinita é preciso marcá-la, como em 0,(3).
Quais frações geram uma dízima periódica?
As irredutíveis cujo denominador tem algum fator primo diferente de 2 e de 5. Por isso 7/30 gera um período e 3/40 termina em 0,075. O guia de frações com decimal exato explica o critério com mais casos.
Um decimal como √2 = 1,41421… tem fração geratriz?
Não. Um decimal infinito em que nenhum bloco se repete é irracional e não pode ser escrito como quociente de dois inteiros. O mesmo vale para π. A geratriz existe apenas para decimais exatos e periódicos.
Como conferir o resultado?
Divida o numerador pelo denominador e veja se reaparece o decimal de partida. Para 5/12, a divisão dá 0,41666…, ou seja, 0,41(6). A ferramenta de fração para decimal faz essa divisão e marca o período que encontra.