Pecahan dari desimal berulang adalah pecahan paling sederhana yang, bila pembilangnya dibagi penyebutnya, menghasilkan desimal itu. Halaman ini menunjukkan cara mengubah desimal yang tak berhenti, seperti 0,1666…, menjadi pecahan yang nilainya tepat sama. Tanda kurung, seperti pada 0,1(6), hanya cara menulis masukan di kalkulator; dalam penjelasan, bagian yang berulang diberi garis di atasnya, misalnya 0,16̅. Di sini 0,75 ditulis dengan koma, sedangkan di banyak negara lain ditulis 0.75. Kalkulator menerima keduanya.
Contoh soal: 0,16̅
Pecahan apa yang menghasilkan desimal 0,1666…, dengan angka 6 berulang tanpa akhir?
- Misalkan x adalah bilangan itu. x = 0,1666…
- Geser dua kali. 10x = 1,666…, dengan angka sebelum periode (angka 1) sudah masuk bagian bulat, dan 100x = 16,666…, dengan satu periode penuh.
- Kurangkan. 100x − 10x = 16,666… − 1,666…, dan bagian 666… yang berulang hilang: 90x = 15.
- Cari x lalu sederhanakan. x = 15/90, dan setelah dibagi 15 menjadi 1/6.
Hasil: 0,16̅ = 1/6.
Pemeriksaan: 10 ÷ 6 = 1 sisa 4; 40 ÷ 6 = 6 sisa 4. Sisa 4 muncul lagi, jadi pembagiannya menghasilkan 0,1666…
Periode, angka sebelum periode, dan tiga jenis desimal
Periode adalah blok angka yang berulang tanpa akhir, dan angka sebelum periode adalah angka desimal yang muncul sebelum pengulangan itu. Pada 0,16̅, angka 1 berada sebelum periode dan angka 6 adalah periodenya. Jika periode langsung dimulai setelah koma, desimalnya berulang murni; jika ada angka sebelum periode, desimalnya berulang campuran. Bagian bulat, bila ada, tidak mengubah penggolongan ini.
| Jenis | Desimal | Hitungan | Pecahan |
|---|---|---|---|
| Berhingga | 0,25 | 25/100 | 1/4 |
| Berulang murni | 0,7̅ | 7/9 | 7/9 |
| Berulang campuran | 0,083̅ | (83 − 8)/900 | 1/12 |
| Campuran dengan bagian bulat | 2,04̅5̅ | (2045 − 20)/990 | 45/22 |
| Periode panjang | 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ | 142857/999999 | 1/7 |
Pada penyebut, setiap angka periode memberi satu angka 9 dan setiap angka sebelum periode memberi satu angka 0 di belakangnya. Pada 2,04̅5̅ ada satu angka sebelum periode dan dua angka periode, sehingga penyebutnya 990 dan pembilangnya 2045 − 20. Desimal berhingga, seperti 0,25, adalah kasus tanpa periode: tulis di atas pangkat 10 lalu sederhanakan.
Mengapa pengurangan menghilangkan bagian yang berulang
Mengalikan dengan pangkat 10 hanya menggeser koma, tanpa mengubah angka-angka sesudahnya. Jika kamu memilih dua pangkat 10 sehingga kedua bilangan punya bagian berulang yang sama persis, saat dikurangkan bagian tak berhingga itu lenyap dan tersisa persamaan dengan bilangan bulat. Itulah gagasan di balik contoh 0,16̅.
Aturan sembilan dan nol adalah jalan pintas dari perhitungan yang sama dan berguna untuk memeriksa hasil. Pembilangnya adalah bilangan yang dibentuk semua angka sampai akhir periode pertama, dikurangi bilangan yang dibentuk angka-angka sebelum periode, tanpa koma. Untuk 0,083̅: (83 − 8)/900 = 75/900 = 1/12. Jika penyebutnya tidak memuat satu angka 9 untuk tiap angka periode, ada yang salah.
Kasus yang perlu diperhatikan
Dengan bagian bulat, kamu tidak perlu memisahkannya: bagian itu ikut masuk ke kedua bilangan yang dikurangkan, seperti 2045 dan 20 pada 2,04̅5̅. Untuk bilangan negatif, kalkulator mencari pecahan dari nilai tanpa tanda lalu memberi tanda di akhir, sehingga −0,7̅ menghasilkan −7/9.
Kasus 0,9̅ sering mengejutkan: pengurangan memberi 9x = 9, jadi 0,9̅ = 1. Setiap desimal berperiode 9 sama dengan desimal berhingga, dan karena itu kalkulator tidak pernah memberi pecahan yang “hampir sama”. Jika desimalmu lebih satu angka atau kurang satu angka, itu bilangan yang berbeda. Periode tidak boleh ditebak: 0,1666 bisa berhingga atau berlanjut dengan angka apa pun, dan hanya tanda kurung yang menentukannya.
Halaman mana yang dipakai untuk desimalmu
Setiap jenis bilangan punya alatnya sendiri, dan sebaiknya pilih yang paling sedikit mengubah apa yang kamu punya. Tabel ini merangkum empat kasusnya.
| Yang kamu punya | Contoh | Pakai |
|---|---|---|
| Periode ditandai | 0,416̅ | Halaman ini |
| Desimal berhingga | 0,375 | Desimal ke pecahan |
| Desimal hasil pembulatan suatu ukuran | 0,3333 | Pendekatan desimal ke pecahan |
| Sebuah pecahan, untuk melihat desimalnya | 5/12 | Pecahan ke desimal |
Pecahan hasilnya sudah sederhana. Jika kamu ingin melihat cara menyederhanakan pecahan seperti 75/900, alat menyederhanakan pecahan menampilkan FPB-nya. Bila hasilnya pecahan tidak murni, pengubah ke pecahan campuran menuliskannya kembali. OpenStax menyajikan desimal berhingga dan berulang sebagai bilangan rasional dalam bahasa Inggris.
Pertanyaan umum
Mengapa 0,9̅ sama dengan 1?
Jika x = 0,999…, maka 10x = 9,999…, dan setelah dikurangkan tersisa 9x = 9, sehingga x = 1. Tidak ada pembulatan: di antara 0,999… dan 1 tidak ada bilangan lain. Panduan desimal berhingga dan berulang menguraikan pembuktian ini dan dua cara lainnya.
Apa yang terjadi jika saya menulis 0,333 tanpa kurung?
Angka itu dibaca sebagai desimal berhingga tiga angka yang bernilai 333/1000, bukan 1/3. Jika desimalnya tidak berulang, tugasnya lain: pakai desimal ke pecahan. Untuk menyatakan pengulangan tanpa akhir, tandai dengan kurung seperti pada 0,(3).
Pecahan apa saja yang menghasilkan desimal berulang?
Pecahan dalam bentuk paling sederhana yang penyebutnya punya faktor prima selain 2 dan 5. Itu sebabnya 7/30 menghasilkan periode, sedangkan 3/40 berhenti di 0,075. Panduan pecahan berdesimal berhingga menjelaskan kriterianya dengan lebih banyak kasus.
Apakah desimal seperti √2 = 1,41421… punya pecahan?
Tidak. Desimal tak berhingga yang tidak mengulang blok mana pun adalah bilangan irasional dan tidak bisa ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Hal yang sama berlaku untuk π. Pecahan hanya ada untuk desimal berhingga dan berulang.
Bagaimana memeriksa hasilnya?
Bagi pembilang dengan penyebut, lalu lihat apakah desimal awal muncul lagi. Untuk 5/12, pembagian memberi 0,41666…, yaitu 0,416̅. Alat pecahan ke desimal melakukan pembagian itu dan menandai periode yang ditemukannya.