Der Bruch zu einer periodischen Dezimalzahl ist der vollständig gekürzte Bruch, der beim Teilen von Zähler durch Nenner genau diese Dezimalzahl ergibt. Diese Seite zeigt den Weg vom Unendlichen zum Endlichen: von 0,1666… zu einem Bruch. In Deutschland schreibt man 0,75 mit Komma; in der Schweiz und in anderen Ländern steht oft ein Punkt, 0.75. Der Rechner akzeptiert beides.
Rechenbeispiel: 0,1(6)
Welcher Bruch gehört zur Dezimalzahl 0,1666…, in der sich die 6 endlos wiederholt?
- Nenne die Zahl x. x = 0,1666…
- Verschiebe das Komma zweimal. 10x = 1,666…, wobei die Vorperiode (die 1) schon vor dem Komma steht, und 100x = 16,666…, mit einer vollständigen Periode.
- Ziehe ab. 100x − 10x = 16,666… − 1,666…, und der Rest 666… fällt weg: 90x = 15.
- Löse nach x auf und kürze. x = 15/90, und nach dem Kürzen mit 15 bleibt 1/6.
Ergebnis: 0,16̅ = 1/6.
Probe: 10 : 6 = 1 Rest 4; 40 : 6 = 6 Rest 4. Der Rest 4 kehrt wieder, also ergibt die Division 0,1666…
Periode, Vorperiode und die drei Arten von Dezimalzahlen
Die Periode ist der Ziffernblock, der sich endlos wiederholt, und die Vorperiode sind die Nachkommastellen, die vor dieser Wiederholung stehen. In 0,16̅ ist die 1 die Vorperiode und die 6 die Periode. Beginnt die Periode direkt hinter dem Komma, ist die Zahl rein periodisch; gibt es eine Vorperiode, ist sie gemischt periodisch. Ein ganzer Teil, falls vorhanden, ändert diese Einteilung nicht.
| Art | Dezimalzahl | Rechnung | Bruch |
|---|---|---|---|
| Abbrechend | 0,25 | 25/100 | 1/4 |
| Rein periodisch | 0,7̅ | 7/9 | 7/9 |
| Gemischt periodisch | 0,083̅ | (83 − 8)/900 | 1/12 |
| Gemischt, mit ganzem Teil | 2,04̅5̅ | (2045 − 20)/990 | 45/22 |
| Lange Periode | 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ | 142857/999999 | 1/7 |
Im Nenner bringt jede Ziffer der Periode eine 9 und jede Ziffer der Vorperiode dahinter eine 0. In 2,04̅5̅ gibt es eine Ziffer Vorperiode und zwei Ziffern Periode, deshalb ist der Nenner 990 und der Zähler 2045 − 20. Eine abbrechende Dezimalzahl wie 0,25 ist der Fall ohne Periode: Du schreibst sie über eine Zehnerpotenz und kürzt. Um die Periode in den Rechner einzugeben, setzt du sie in Klammern, wie in 2,0(45).
Warum die Subtraktion den Rest wegfallen lässt
Multiplizieren mit einer Zehnerpotenz verschiebt nur das Komma, die Ziffern dahinter bleiben gleich. Wählst du zwei Potenzen, bei denen beide Zahlen denselben periodischen Rest behalten, hebt sich beim Abziehen der unendliche Teil auf, und es bleibt eine Gleichung mit ganzen Zahlen. Das ist die Idee im Beispiel mit 0,16̅.
Die Regel mit Neunen und Nullen ist die Abkürzung derselben Rechnung und dient als Probe. Der Zähler ist die Zahl aus allen Ziffern bis zum Ende der ersten Periode minus die Zahl aus den Ziffern vor der Periode, jeweils ohne Komma. Für 0,083̅ gilt (83 − 8)/900 = 75/900 = 1/12. Hat der Nenner nicht für jede Periodenziffer eine 9, stimmt etwas nicht.
Fälle, die Aufmerksamkeit verdienen
Einen ganzen Teil musst du nicht abtrennen: Er steckt in beiden Zahlen, die du abziehst, wie die 2045 und die 20 bei 2,04̅5̅. Bei einem negativen Vorzeichen bestimmt der Rechner den Bruch des Betrags und setzt das Minus am Ende davor, daher ergibt −0,7̅ den Wert −7/9.
Der Fall 0,9̅ überrascht: Die Subtraktion ergibt 9x = 9, also ist 0,9̅ = 1. Jede Dezimalzahl mit Periode 9 ist gleich einer abbrechenden, und deshalb gibt der Rechner nie einen „fast gleichen“ Bruch zurück. Hat deine Dezimalzahl dagegen eine Ziffer mehr oder weniger, ist es eine andere Zahl. Die Periode lässt sich nicht erraten: 0,1666 kann abbrechend sein oder mit jeder beliebigen Ziffer weitergehen, und nur die Klammern sagen es.
Welche Seite passt zu deiner Dezimalzahl?
Jede Art von Zahl hat ihr Werkzeug, und am besten wählst du das, das deine Zahl am wenigsten verändert. Die Tabelle zeigt die vier Fälle.
| Du hast | Beispiel | Nimm |
|---|---|---|
| Markierte Periode | 0,416̅ | Diese Seite |
| Abbrechende Dezimalzahl | 0,375 | Dezimalzahl in Bruch umwandeln |
| Gerundeter Messwert | 0,3333 | Dezimalzahl durch Bruch annähern |
| Einen Bruch, dessen Dezimalzahl du sehen willst | 5/12 | Bruch in Dezimalzahl umwandeln |
Der Bruch kommt schon gekürzt heraus. Willst du sehen, wie ein Bruch wie 75/900 gekürzt wird, zeigt das Werkzeug Brüche kürzen den ggT. Ist das Ergebnis ein unechter Bruch, schreibt ihn die Umwandlung in eine gemischte Zahl um, und zum Üben von Hand hilft die Tabelle mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten. OpenStax stellt abbrechende und periodische Dezimalzahlen als rationale Zahlen auf einer englischsprachigen Seite dar (abgerufen am 17. Oktober 2026).
Häufige Fragen
Warum ist 0,9̅ gleich 1?
Mit x = 0,999… ist 10x = 9,999…, und beim Abziehen bleibt 9x = 9, also x = 1. Das ist keine Rundung: Zwischen 0,999… und 1 liegt keine weitere Zahl. Der Ratgeber zu abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen führt diesen Beweis und zwei weitere aus.
Was passiert, wenn ich 0,333 ohne Klammern eingebe?
Der Rechner liest es als abbrechende Dezimalzahl mit drei Stellen, und die ist gleich 333/1000, nicht 1/3. Wiederholt sich die Zahl nicht, ist das eine andere Aufgabe: Nimm dafür Dezimalzahl in Bruch umwandeln. Eine endlose Wiederholung musst du kennzeichnen, wie in 0,(3).
Welche Brüche ergeben eine periodische Dezimalzahl?
Vollständig gekürzte Brüche, deren Nenner einen Primfaktor außer 2 und 5 enthält. Deshalb hat 7/30 eine Periode, während 3/40 bei 0,075 endet. Der Ratgeber zu Brüchen mit abbrechender Dezimalzahl erklärt das Kriterium an weiteren Fällen.
Hat eine Dezimalzahl wie √2 = 1,41421… einen Bruch?
Nein. Eine unabbrechende Dezimalzahl, in der sich kein Block wiederholt, ist irrational und lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben. Dasselbe gilt für π. Einen Bruch gibt es nur für abbrechende und periodische Dezimalzahlen.
Wie prüfe ich das Ergebnis?
Teile den Zähler durch den Nenner und schau, ob die Ausgangszahl wieder erscheint. Bei 5/12 ergibt die Division 0,41666…, also 0,41(6). Das Werkzeug Bruch in Dezimalzahl umwandeln führt diese Division aus und markiert die Periode, die es findet.