Eine abbrechende Dezimalzahl hat eine letzte Ziffer, eine periodische Dezimalzahl wiederholt einen Block endlos. Darum ist 0,999 gleich 999/1000 und damit kleiner als eins, während 0,9̅ mit endlos vielen Neunen genau 1 ist. Ein „fast“ gibt es nicht: Zwischen 0,9̅ und 1 liegt keine weitere Zahl, denn beide sind dieselbe Zahl.
Diese Anleitung beantwortet die Frage und legt fest, wie du eine Periode schreibst. Um eine beliebige periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, nutze periodische Dezimalzahl in Bruch; ob ein Bruch abbricht oder sich wiederholt, siehst du vorher mit der Regel der Faktoren 2 und 5.
Drei Schreibweisen, die man verwechselt
| Schreibweise | Was sie sagt | Wert |
|---|---|---|
| 0,333 | Drei Nachkommastellen, dann ist Schluss | 333/1000, kleiner als ein Drittel |
| 0,3̅ oder 0,333… | Die 3 wiederholt sich endlos | Genau ein Drittel |
| ≈ 0,33 | Rundung auf zwei Nachkommastellen | Eine Näherung, keine Gleichheit: Der Fehler beträgt 1/300 |
Die Tabelle trennt drei verschiedene Dinge: eine vollständig geschriebene Zahl, eine Periode und eine Rundung. Auslassungspunkte allein lassen offen, welcher Block weiterläuft; markiere die Periode deshalb mit einem Strich über den Ziffern, wie in 0,2̅7̅. Wo du den Strich nicht setzen kannst, schreibst du sie in Klammern, 0,(27); so nimmt sie auch der Rechner an. Im deutschsprachigen Raum schreibt man als Dezimalzeichen ein Komma, in englischsprachigen Ländern einen Punkt; der Rechner akzeptiert beides.
Beispiel mit Lösung: beweisen, dass 0,9̅ = 1 ist
Sei x = 0,999… mit endlos wiederholten Neunen. Welchen Wert hat x?
- Mit 10 multiplizieren. Dann ist 10x = 9,999…, und die endlose Folge der Neunen hinter dem Komma ist dieselbe wie bei x.
- Subtrahieren. 10x − x = 9,999… − 0,999… = 9, weil sich die Neunerfolgen aufheben.
- Nach x auflösen. 9x = 9, also x = 1.
Also ist x = 1.
Probe: 1/3 = 0,3̅. Verdreifachst du beide Seiten, ergibt 3 × 0,3̅ den Wert 0,9̅ und 3 × 1/3 den Wert 1, also denselben Wert.
Schritt 2 funktioniert, weil die Periode keine letzte Ziffer hat: Verschiebst du das Komma um eine Stelle, bleibt keine Neun übrig und keine fehlt.
Warum endlich viele Neunen nicht bei 1 ankommen
Bei n Neunen ist der Wert 1 − 1/10ⁿ, und jede weitere Neun verkleinert den Abstand auf ein Zehntel, ohne ihn je aufzuheben.
| Schreibweise | Wert | Fehlt bis 1 |
|---|---|---|
| 0,9 | 9/10 | 1/10 |
| 0,99 | 99/100 | 1/100 |
| 0,999 | 999/1000 | 1/1000 |
| 0,9̅ | 1 | 0 |
Jede endliche Zeile bleibt unter eins: Endlich viele Neunen lassen immer einen Rest, und deshalb funktioniert die Subtraktion aus dem Beispiel bei ihnen nicht. Bei der unendlichen Periode wäre die Differenz 1 − 0,9̅ kleiner als 1/10ⁿ für jedes n, und die einzige nichtnegative Zahl mit dieser Eigenschaft ist 0.
Was ein Display anzeigt
Ein Taschenrechner, der auf wenige Stellen eingestellt ist, kann für 0,999 die Zahl 1 und für 2/3 die Zahl 0,67 anzeigen. Das ist Anzeigerundung: 0,67 = 67/100 ist etwas größer als 2/3. Für exakte Gleichungen behältst du den Bruch und rundest nur das Endergebnis.
Hier geht es weiter
- Bruch in Dezimalzahl zeigt dir, ob ein Bruch eine abbrechende Dezimalzahl oder eine Periode ergibt.
- Eine abbrechende Dezimalzahl wie 0,5 wandelst du mit Dezimalzahl in Bruch um; wiederholt sich die Dezimalzahl, nimmst du periodische Dezimalzahl in Bruch.
- Der Artikel über 0,1 + 0,2 erklärt, warum Computer 0,1 nicht exakt speichern.
Üben
- Welchen Wert hat 0,3̅ + 0,6̅?
- Berechne den Abstand zwischen 0,999 und 1.
- Schreibe 0,125 mit endlos vielen Neunen am Ende.
Lösungen anzeigen
- 1, denn 1/3 + 2/3 = 1
- 1/1000
- 0,1249̅
Quellen
OpenStax, Prealgebra 2e, Abschnitt 5.3, Decimals and Fractions (auf Englisch), abgerufen am 16. Oktober 2026: Die Quelle erklärt, dass periodische Dezimalzahlen abgekürzt werden, indem man die sich wiederholenden Ziffern markiert. Diese Anleitung markiert sie mit einem Strich.