Bruchoperationen verwenden in deinem Browser Ganzzahlen beliebiger Genauigkeit (BigInt). Diese Seite fasst die Rechenregeln zusammen, damit du ein Ergebnis selbst nachprüfen kannst.
Exakte Brüche
Jeder Bruch wird normalisiert: Der Nenner bleibt positiv, und Zähler und Nenner werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt. Zum Beispiel wird 18/24 als 3/4 dargestellt. Null hat nur eine Form, 0/1. Ein Nenner null und eine Division durch null führen zu einer Fehlermeldung, nicht zu einem Ergebnis.
Eingaben und Grenzen
Der Hauptrechner akzeptiert ganze Zahlen mit Vorzeichen, Brüche, abbrechende Dezimalzahlen, periodische Dezimalzahlen in Klammern und gemischte Zahlen. Die Grenzen des Rechenkerns sind:
- Eine Zahl darf bis zu 100 Ziffern haben.
- Eine Kette aus Additionen, Subtraktionen, Produkten oder Quotienten nimmt 2 bis 20 Werte auf; der Mittelwert bis zu 50.
- Ein Ergebnis darf bis zu 10.000 Ziffern im Zähler oder im Nenner haben.
- Ein eingegebener Ausdruck darf bis zu 1.024 Zeichen, 200 Elemente und 20 Verschachtelungsebenen haben.
Eine Eingabe außerhalb dieser Grenzen wird mit einer Meldung abgelehnt; sie wird nie stillschweigend gekürzt oder gerundet. Spezialisierte Werkzeuge nennen ihre eigenen Grenzen neben ihren Feldern.
Runden und Dezimalzahlen
Der gekürzte Bruch ist das exakte Ergebnis. Um ihn als Dezimalzahl anzuzeigen, geht der Rechenkern so vor:
- Bricht die Dezimalzahl innerhalb der angezeigten Stellen ab oder wiederholt sie sich, wird sie vollständig geschrieben und als exakt gekennzeichnet; eine Periode steht in Klammern, wie in 1/3 = 0,(3).
- Passt sie nicht hinein, wird die Dezimalzahl gerundet und als Näherung gekennzeichnet. Es wird zum nächstliegenden Wert gerundet, und bei Gleichstand weg von null: 0,5 wird zu 1 und −0,5 zu −1.
- Der Rechenkern unterstützt 0 bis 200 Dezimalstellen.
Eine gerundete Dezimalzahl ersetzt den Bruch nicht, wenn du mit dem Ergebnis weiterrechnest.
Rangfolge der Operationen
Ausdrücke werden in dieser Reihenfolge ausgewertet:
- Klammern.
- Potenzen mit ganzzahligem Exponenten. Sie werden von rechts nach links zusammengefasst, und −2^2 ergibt −4, weil die Potenz vor dem Vorzeichen berechnet wird.
- Multiplikation und Division, von links nach rechts. Eine Zahl direkt vor einer Klammer, wie in 2(3 + 4), wird multipliziert.
- Addition und Subtraktion, von links nach rechts.
Enthält der Ausdruck das Zeichen ÷, bindet der Bruchstrich / stärker als × und ÷, sodass 1/2 ÷ 3/4 als (1/2) ÷ (3/4) gelesen wird. Beispiele mit Klammern findest du unter Bruchterme berechnen.
Negative gemischte Zahlen
Das Vorzeichen einer gemischten Zahl gilt für die gesamte Größe: −2 1/3 ist gleich −7/3, nicht −2 + 1/3. Der Bruchteil einer gemischten Zahl muss ein echter Bruch sein: „2 4/3“ wird abgelehnt.
Wie der Rechenkern getestet wird
Automatische Tests vergleichen jede Operation mit einer getrennten Rechnung über Überkreuzmultiplikation, mit Ganzzahlen von bis zu zwölf Stellen. Sie prüfen außerdem, dass die gekürzte Form eindeutig ist, dass die Addition kommutativ und assoziativ ist, dass Subtrahieren und anschließendes Addieren den Ausgangswert ergibt und dass das Vorzeichen einer gemischten Zahl auf den ganzzahligen Teil wirkt. Jede Eigenschaft läuft mit festem Startwert und standardmäßig 1.000 Fällen. Auch die Grenze von hundert Stellen wird getestet.
Die Zahlenbeispiele auf den Seiten lassen sich im Rechner wiederholen. Stimmt ein Ergebnis nicht überein, sag uns auf der Seite Korrekturen Bescheid.