BRÜCHE ADDIEREN, SUBTRAHIEREN, MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN
Erhalte ein exaktes Ergebnis und verfolge jeden Rechenschritt.
Gib die beiden Brüche ein, wähle die Rechenart und du erhältst das Ergebnis bereits gekürzt, mit Rechenweg: 3/4 − 1/6 ergibt 7/12. Für drei oder mehr Werte oder einen Term mit Klammern wechselst du den Modus; die Tabelle unten zeigt dir, welcher passt.
Gib zwei Brüche ein, um zu beginnen.
(1/2) + (1/3) = 5/6
Um das Ergebnis weiterzuverwenden, dürfen Zähler und Nenner jeweils höchstens 100 Ziffern haben.
Dezimalzahlen und gemischte Zahlen erscheinen als exakte Brüche. Bearbeite Felder und Rechenzeichen; beim Anwenden, Berechnen oder Schließen wird der Ausdruck aktualisiert. Die Tastatur bearbeitet das ausgewählte Feld. Lange Ausdrücke lassen sich im Editor seitlich scrollen.
Gib zwei Brüche ein, um zu beginnen.
Multipliziere mit 2(1/3) oder (1/2)(3/4). Multiplikation und Division werden von links nach rechts berechnet. Verwende bei Dezimalzahlen und gemischten Zahlen × oder Klammern.
Neue Aufgaben bleiben nur in diesem Tab, bis zu 10 Eingaben ohne Antworten. Ein zuvor gespeicherter Verlauf bleibt erhalten, bis du ihn löschst.
Noch keine Aufgaben.
Brüche mit verschiedenen Nennern addieren
Um Brüche zu addieren, müssen die Teile gleich groß sein. Ein Halb wird zu drei Sechsteln und ein Drittel zu zwei Sechsteln.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
3 Teile + 2 Teile = 5 von 6 Teilen
Mehr als ein Ganzes
Neun Viertel ergeben zwei Ganze und ein weiteres Viertel. Der unechte Bruch 9/4 und die gemischte Zahl 2 1/4 haben genau denselben Wert.
9/4 = 4/4 + 4/4 + 1/4 = 2 1/4
4/4 + 4/4 + 1/4 = 9/4 = 2 1/4
Ein Beispiel aus der Küche
Wenn du 3/4 Tasse Mehl mit einer weiteren 1/8 Tasse desselben Mehls vermischst, brauchst du insgesamt 7/8 Tasse. Gib nur die Zahlen in den Rechner ein und ergänze die Einheit beim Ergebnis.
3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8
Der Zähler zählt die blauen Teile, der Nenner alle gleich großen Teile. Erweitert man 1/2 mit 2, erhält man 2/4. Kürzt man 3/6 durch 3, erhält man 1/2. Das Ganze und seine blaue Hälfte bleiben gleich.
1/2 = 2/4 = 3/6
ANLEITUNG ZUM RECHNEN
Dieser Bruchrechner addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert rationale Zahlen. Gib zwei Brüche im einfachen Formular ein, wähle «Gemischte Zahlen und Dezimalzahlen» für eine Liste mit bis zu zwanzig Operanden derselben Rechenart oder wähle «Term», um Rechenarten in einem einzigen Feld zu kombinieren. Das Ergebnis wird exakt gekürzt; die Schritte zeigen, wie es entsteht.
Für eine Rechnung mit zwei Brüchen gib jeden Zähler über dem Nenner ein, wähle die Rechenart und tippe auf «Berechnen». Der Zähler gibt an, wie viele Teile du nimmst; der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile die Einheit geteilt ist. Bei 3/4 ist jeder Teil ein Viertel der Einheit, und du nimmst drei Teile.
Der Modus «Gemischte Zahlen und Dezimalzahlen» bietet vollständige Eingabefelder. Gib 1/2, -3, 0,25 oder -1 1/2 jeweils in ein Feld ein; das Vorzeichen der gemischten Zahl gilt für den gesamten Wert. Füge bis zu zwanzig Operanden hinzu. Zum Beispiel ergibt 1/2 + 1/3 + 1/6 bei Addition 1. Diese Felder wiederholen eine einzige Rechenart; Subtraktionen und Divisionen werden von links nach rechts ausgeführt.
Um Rechenarten zu kombinieren, wähle «Term» und gib die Rechnung in das angezeigte Feld ein. Zuerst werden Potenzen berechnet, danach Multiplikationen und Divisionen von links nach rechts und zuletzt Additionen und Subtraktionen. Klammern ändern die Gruppierung. Daher gilt: 1/2 + 1/3 × 3/4 = 3/4, aber (1/2 + 1/3) × 3/4 = 5/8. Das Zeichen ^ unterstützt ganzzahlige Exponenten von −100 bis 100; 0^0 ist nicht definiert. Eine Schritt-für-Schritt-Erklärung und weitere Beispiele findest du im Rechner für Rechenausdrücke. Zu den häufigsten Fehlern gibt es den Leitfaden zu typischen Bruchfehlern.
Über Links kannst du Brüche kürzen, umwandeln und vergleichen. In diesem Rechner setzt «Ergebnis verwenden» den exakten Bruch als ersten Wert für die nächste Rechnung ein; gib vor dem Berechnen den zweiten Wert ein. Überschreitet das Ergebnis die Eingabegrenze von 100 Ziffern, erklärt die Schaltfläche, warum es nicht wiederverwendet werden kann.
Öffne «Prozent, Rundung und Verlauf», um die Darstellung zu ändern. Prozent gibt eine Zahl bezogen auf hundert an: 1/2 entspricht 50 %. «Nachkommastellen» rundet nur die Anzeige; der exakte Bruch bleibt erhalten. Zum Beispiel wird 1/3 mit zwei Nachkommastellen als 0,33 angezeigt; die exakte Differenz beträgt 1/300. Ist die nächste Ziffer 5 und gibt es keinen weiteren Rest, wird von null weg gerundet: 0,125 wird zu 0,13 und −0,125 zu −0,13.
«Dein Ergebnis: Bruchstreifen und Zahlengerade» zeigt Teile der Einheit und ordnet den Wert relativ zu null ein. Für sehr große Ergebnisse wird eine Erklärung statt eines detaillierten Streifens angezeigt. Die Schritte zeigen die passende Umwandlung, Rechnung und Kürzung.
Ein exaktes Ergebnis bewahrt den vollständigen rationalen Wert. Zum Beispiel stellen 2/4 und 1/2 dieselbe Zahl dar, denn wenn du Zähler und Nenner von 2/4 durch 2 teilst, erhältst du 1/2. Zum Kürzen eines Bruchs teilst du beide Glieder durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der ggT von 2 und 4 ist 2; der von 1 und 2 ist 1. Daher ist 1/2 vollständig gekürzt: Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Der Rechner setzt das Vorzeichen in den Zähler und hält den Nenner des Ergebnisses positiv. So wird 2/−4 zu −1/2 normalisiert; beide Werte sind gleich. Null wird als 0 angezeigt, auch wenn du 0/7 eingegeben oder 1/2 − 1/2 gerechnet hast. Durch diese Normalisierung hat das Ergebnis eine einheitliche Hauptform.
Ein echter Bruch wie 3/4 hat einen Zähler, dessen Betrag kleiner als der Nenner ist. Ein unechter Bruch wie 5/4 stellt betragsmäßig mindestens eine Einheit dar. Bei einem Wert größer als eins kann die gemischte Schreibweise hilfreich sein: 5/4 entspricht 1 1/4. Für einen negativen Wert gilt: −5/4 entspricht −1 1/4. Um durch einen Bruch ungleich null zu teilen, verwendest du seinen Kehrwert: Der Kehrwert von 2/3 ist 3/2, und ihr Produkt ist 1. Null hat keinen Kehrwert. Der unechte Bruch bleibt die exakte Darstellung für weitere Rechnungen; die gemischte Zahl drückt ganze Einheiten und einen Rest aus.
Alle vier Rechenarten beruhen auf derselben Idee: Ein Bruch stellt einen Wert dar, doch jede Rechenart verändert ihn auf bestimmte Weise. Die folgenden Beispiele zeigen Zwischenschritte, die du mit den Rechenschritten im Rechner vergleichen kannst.
Regel: Haben die Nenner denselben Wert, addierst du die Zähler und behältst die Größe der Teile bei. Kürze das Ergebnis, wenn möglich.
3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2
Bei unterschiedlichen Nennern suchst du einen gemeinsamen Nenner. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ermöglicht den kleinsten gemeinsamen positiven Nenner; zum Beispiel: 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Eine ganze Zahl schreibst du zum Addieren mit Nenner 1. Übe das Addieren von Brüchen.
Regel: Gleiche die Nenner an und subtrahiere die Zähler in der angegebenen Reihenfolge.
3/4 − 1/2 = 3/4 − 2/4 = 1/4
Das Ergebnis kann auch negativ sein: 1/2 − 3/4 = −1/4. Bei mehreren Subtraktionen beachtest du die Klammern und die Reihenfolge. Sieh dir eine Subtraktion Schritt für Schritt an.
Regel: Multipliziere die Zähler miteinander und die Nenner miteinander; kürze anschließend.
2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2
Du kannst Faktoren auch vor dem Multiplizieren kürzen: 2/3 × 9/10 = 18/30 = 3/5. Ist ein Faktor null, ist das Produkt null. Entdecke die Multiplikation von Brüchen.
Regel: Kehre nur den Divisor um, sofern er nicht null ist, und multipliziere.
5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = 5/4
Zur Kontrolle: 5/4 × 2/3 = 5/6. Teile niemals durch null, auch nicht durch 0/7. Übe das Dividieren von Brüchen.
Das Produkt 2/3 × 3/4 belegt sechs von zwölf gleich großen Teilen einer rechteckigen Einheit. Teile die Einheit zuerst in drei Spalten und vier Zeilen. Wähle zwei Spalten für 2/3 und drei Zeilen für 3/4 aus. Die sechs überlappenden Felder zeigen das Produkt: 6/12 = 1/2.
Die Zeichnung ändert die Rechenregel nicht: 2 × 3 = 6 und 3 × 4 = 12. Sie macht deutlich, warum das Produkt zweier positiver Brüche kleiner als eins in diesem Beispiel auch kleiner als jeder Faktor ist. Multiplizierst du mit 3/2, einem Wert größer als eins, gilt diese Aussage nicht mehr.
Der Bruch −1/4 liegt links von 0 und rechts von −1/2. Jeder Abschnitt des folgenden Zahlenstrahls ist 1/4 lang: Von −1/2 geht es zu −1/4, dann zu 0, zu 1/4 und schließlich zu 1/2. Die gleichmäßigen Abstände helfen, Werte zu vergleichen, ohne ihre Vorzeichen zu ändern.
Das Ergebnis 1/2 − 3/4 = −1/4 ergibt sich aus 2/4 − 3/4. Beginne auf dem Zahlenstrahl bei 1/2 und gehe drei Schritte von je 1/4 zurück; du landest einen Schritt links von null. So kannst du das Vorzeichen der Antwort prüfen, bevor du die Dezimaldarstellung liest.
Die einfachen Felder trennen Zähler und Nenner und nehmen ganze Zahlen mit Vorzeichen an. Im erweiterten Modus gibst du jeden Wert in ein einziges Feld ein; dort sind Brüche, ganze Zahlen, endliche Dezimalzahlen und gemischte Zahlen möglich. Das Format 0,25 stellt ebenso wie 0.25 ein Viertel dar, sofern du nur ein Dezimaltrennzeichen verwendest.
| Wert | Einfache Felder | Erweiterter Modus |
|---|---|---|
| Drei Viertel | 3 oben und 4 unten | 3/4 |
| Negative ganze Zahl −2 | −2 oben und 1 unten | −2 |
| Dezimalzahl 0,25 | 1 oben und 4 unten | 0,25 |
| Negative gemischte Zahl −1 1/2 | −3 oben und 2 unten | −1 1/2 |
Die Eingabe −1 1/2 entspricht −3/2: Das Minuszeichen gilt für die ganze Zahl und den Bruchteil. Sie ist nicht gleich −1 + 1/2, was −1/2 ergibt. Wenn du die gemischte Zahl in einem einzigen Feld im erweiterten Modus eingibst, trennst du ihre Teile nicht versehentlich.
Der erweiterte Modus nimmt zwei bis zwanzig Operanden an und begrenzt jedes Zahlentoken auf 100 Ziffern. Im Termmodus sind bis zu 1.024 Zeichen möglich; Zähler und Nenner des Ergebnisses dürfen jeweils bis zu 10.000 Ziffern haben. Bei sehr komplexen Termen können weniger Rechenzeichen oder weniger verschachtelte Klammern nötig sein. Kein Nenner darf null sein; bei einer Division darf auch der Divisor nicht den Wert null haben.
Öffne «Rechenschritte anzeigen», um nachzuvollziehen, was sich bei jeder Rechenart geändert hat. Bei einer Addition kannst du den gemeinsamen Nenner und die gleichwertigen Zähler prüfen; bei einer Multiplikation verfolgst du Produkt und Kürzung; bei einer Division prüfst du den Kehrwert des Divisors. Multipliziere gleichwertige Brüche über Kreuz, wenn du nach einem Schritt bestätigen möchtest, dass sie denselben Wert haben.
Der Bruch ist die exakte Referenz. Eine endliche Dezimalzahl wie 1/4 = 0,25 ist ebenfalls exakt. Eine periodische Dezimalzahl wie 1/3 = 0,(3) wiederholt die Ziffern in Klammern unendlich oft. Zeigt die Anzeige «≈» und eine begrenzte Zahl von Dezimalstellen, handelt es sich um einen gerundeten Näherungswert und nicht um eine neue exakte Gleichheit.
Zum Beispiel hat 1/7 eine längere periodische Dezimaldarstellung als 1/3. Erreicht die Dezimalanzeige ihre Stellenbegrenzung, verwendest du für weitere Rechnungen weiterhin 1/7; die Eingabe eines Näherungswerts kann Fehler ansammeln. Der Rechner arbeitet mit ganzzahligen Zählern und Nennern, deshalb ergibt 0,1 + 0,2 exakt 3/10.
Für eine andere Schreibweise kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln.
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
0,33 + 0,33 + 0,33 = 0,99
Es fehlen 0,01 (1 %), um die Einheit zu vervollständigen.
Rechne mit dem exakten Bruch und runde erst bei der Ausgabe.
Eine Schülerin rechnet 1/2 − 1/3 und möchte wissen, warum das Ergebnis 1/6 ist. Wandle 1/2 in 3/6 und 1/3 in 2/6 um; dann subtrahiere 3/6 − 2/6 = 1/6. Der falsche Ansatz (1 − 1)/(2 − 3) erhält keine gleich großen Teile und führt außerdem ohne Erklärung zu einem negativen Nenner.
Eine Lehrkraft kann die Klasse erklären lassen, warum 4/8 und 1/2 denselben Wert haben. Wenn Zähler und Nenner durch 4 geteilt werden, wird das Kürzen sichtbar. Mit dem Rechner lässt sich das Ergebnis prüfen und zugleich nachvollziehen, warum vier Achtel einer Hälfte entsprechen.
Verwendet ein Rezept 3/4 Tasse einer Zutat und weitere 1/8 Tasse derselben Zutat, beträgt die Gesamtmenge 6/8 + 1/8 = 7/8 Tasse. Gib die Einheit «Tasse» nicht in die Zahlenfelder ein, sondern ergänze sie beim Ergebnis. Verschiedene Zutaten zu addieren kann das Gesamtvolumen ergeben, ersetzt aber keine Mengenangabe für die einzelnen Zutaten.
In einer Werkstatt werden 3/4 Meter von einem 2 1/2 Meter langen Stück abgeschnitten. Wandle 2 1/2 in 5/2 = 10/4 um; dann ergibt 10/4 − 3/4 = 7/4 = 1 3/4 Meter. Gib im erweiterten Modus «2 1/2» und «3/4» ein. Der exakte Wert 7/4 erhält das vollständige Maß; nenne beim Vorlesen «Meter», damit die Einheit nicht verloren geht.
Die Klammern markieren die Ziffern, die sich endlos wiederholen: 0,(3) ist 0,333… und entspricht genau 1/3. Das Zeichen „≈“ steht für eine gerundete Dezimalzahl: Mit zwei Nachkommastellen wird 1/3 als ≈ 0,33 angezeigt, und die exakte Differenz beträgt 1/300. Weitere Rechnungen verwenden den Bruch, nicht die gerundete Dezimalzahl.
Zuerst rechnest du, was in der Klammer steht, danach den Rest. In (1/10 + 2/5) ÷ 1/4 ergibt die Klammer 1/2, und 1/2 ÷ 1/4 ist 2. Steht außerhalb der Klammer eine Multiplikation oder Division, kommt sie vor jeder Addition, die nicht in einer Klammer steht.
Setze die Basis in Klammern und nutze ^ mit einem ganzzahligen Exponenten: (2/5)^2 ergibt 4/25 und (−2/5)^3 ergibt −8/125. Ein negativer Exponent kehrt den Bruch um, also ist (2/5)^−1 gleich 5/2.
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