So löst man es
- Teile den Zähler durch den Nenner.
- Endet die Division, ist die Dezimalzahl exakt.
- Wiederholt sich ein Rest, ist die Dezimalzahl periodisch: Markiere die Periode.
- Runde nur, wenn ein Näherungswert verlangt ist.
3 ÷ 8 = 0,375
Ergebnis: 0,375
Häufiger Fehler:Falsch: 1/4 = 0,14.Richtig: 1/4 = 0,25.Zähler und Nenner links und rechts eines Kommas zu schreiben ist keine Division. 1/4 ist 1 ÷ 4 = 0,25.
Gib den Bruch oder die gemischte Zahl ein, wähle, wie viele Stellen du sehen willst, und klick auf „Umrechnen“. Vor dem Ergebnis steht =, wenn die Dezimalzahl vollständig in diese Stellen passt, und ≈, wenn gerundet wurde.
5 durch 12 teilen, Rest für Rest
Ein Rezept braucht 5/12 Liter Brühe, und du willst die Menge als Dezimalzahl notieren. Wie viel ist das?
- Teile den Zähler durch den Nenner. 5 ÷ 12 ergibt 0 Ganze und Rest 5, also rechnest du mit Nachkommastellen weiter.
- Hänge jedes Mal eine Null an: 50 ÷ 12 = 4, Rest 2; dann 20 ÷ 12 = 1, Rest 8; dann 80 ÷ 12 = 6, Rest 8.
- Der Rest 8 war schon einmal da, also wiederholt sich die 6 endlos. Die Ziffern 4 und 1 stehen vor der Periode, die 6 kommt in Klammern: 0,41(6).
Ergebnis: 5/12 = 0,41(6), also 0,41666… Liter.
Probe: Mit 2 Stellen gilt 0,42 × 12 = 5,04, sehr nah an 5; der Unterschied ist 0,04.
Drei Arten von Dezimalzahlen
Beim Teilen passiert eines von drei Dingen: Die Division bricht ab, die Ziffern wiederholen sich gleich hinter dem Komma, oder sie wiederholen sich erst nach einigen festen Ziffern. Das erkennst du am Nenner, immer beim gekürzten Bruch. Deshalb wird 12/30 zuerst zu 2/5 gekürzt und ergibt 0,4, obwohl 30 den Faktor 3 enthält.
| Art | Gekürzter Nenner | Beispiel |
|---|---|---|
| Abbrechend | Nur die Faktoren 2 und 5 | 3/8 = 0,375, denn 8 = 2³ |
| Rein periodisch | Weder 2 noch 5 als Faktor | 1/3 = 0,(3) |
| Gemischt periodisch | Faktor 2 oder 5 und mindestens eine weitere Primzahl | 5/12 = 0,41(6), denn 12 = 2² × 3 |
Siehst du Ziffern, die nicht enden, genügt ein Blick auf den Bildschirm nicht: Dass die Dezimalzahl in den sichtbaren Stellen noch nicht abgebrochen ist, beweist nicht, dass sie sich wiederholt. Das Kriterium am Nenner liefert die Antwort ohne Division, und der Ratgeber zu Brüchen mit abbrechenden Dezimalzahlen erklärt, warum nur die 2 und die 5 zählen. Den Unterschied zu 0,333… und zu Dezimalzahlen, die sich nie wiederholen, behandeln die abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen.
So wird das Ergebnis geschrieben
Für 1/3 gibt es drei Schreibweisen, die du nicht vermischen solltest. 0,(3) und 0,333… sind dieselbe Zahl, einmal mit Klammern um die Periode und einmal mit Auslassungspunkten; von Hand schreibst du einen Strich über die 3 (0,3̅). ≈ 0,33 ist ein gerundeter Näherungswert, und der Rechner markiert ihn mit ≈, damit er nicht mit dem Wert verwechselt wird. Hier steht bei 0,75 ein Komma; im Englischen und in anderen Ländern schreibt man 0.75. Der Rechner akzeptiert beide Formen.
Die Anzeige rundet auf den nächstliegenden Wert und, bei genau gleichem Abstand, von null weg. Die Grenzen sind praktisch: Der Nenner darf nicht 0 sein, jede Zahl hat höchstens 100 Ziffern, und die Suche nach der Periode prüft 2000 Reste.
Häufige Brüche als Dezimalzahl
Mit der Tabelle liest du die gebräuchlichsten Umwandlungen ohne Rechnung ab. In der rechten Spalte steht die Art der Dezimalzahl; wiederkehrende Ziffern stehen in Klammern.
| Bruch | Dezimalzahl | Art |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | abbrechend |
| 1/4 | 0,25 | abbrechend |
| 1/5 | 0,2 | abbrechend |
| 1/6 | 0,1(6) | gemischt |
| 1/7 | 0,(142857) | rein |
| 1/9 | 0,(1) | rein |
| 1/11 | 0,(09) | rein |
| 1/12 | 0,08(3) | gemischt |
| 1/16 | 0,0625 | abbrechend |
| 1/20 | 0,05 | abbrechend |
Weitere Umwandlungen, auch mit Prozent, findest du in der Tabelle Bruch, Dezimalzahl, Prozent.
Der umgekehrte Weg und andere Formen
Eine abbrechende Dezimalzahl wie 0,375 wandelst du mit Dezimalzahl in Bruch umwandeln in einen Bruch um. Ist die Dezimalzahl periodisch, etwa 0,41(6), liefert periodische Dezimalzahl in Bruch umwandeln den Bruch, der sie erzeugt. Um den Wert in Hundertsteln auszudrücken, gibt es Bruch in Prozent umwandeln. Und wenn du einen einfachen Bruch suchst, der einer Dezimalzahl mit vielen Stellen ähnelt, nimmt Dezimalzahl durch einen Bruch annähern einen größten Nenner entgegen. Auf Englisch erklärt OpenStax die Umwandlung zwischen Brüchen und Dezimalzahlen.
Häufige Fragen
Wie viele Ziffern kann die Periode höchstens haben?
Höchstens eine weniger als der Nenner, weil bei der Division nur die Reste 1 bis b − 1 vorkommen. Deshalb hat 1/7 sechs Ziffern und 1/97 bis zu 96. Der Rechner sucht die Periode unter den ersten 2000 Resten und meldet es, wenn er sie nicht findet.
Wie viele Ziffern hat die Vorperiode?
So viele, wie der größte Exponent von 2 oder 5 im gekürzten Nenner angibt. Bei 1/60 = 0,01(6) ist der Nenner 2² × 3 × 5, der größte Exponent ist 2, und vor der Periode stehen zwei Ziffern. Kommt weder 2 noch 5 vor, wie bei 1/11, beginnt die Periode direkt hinter dem Komma.
Wie wandle ich eine gemischte Zahl oder einen negativen Bruch um?
Schreib die gemischte Zahl mit einem Leerzeichen, etwa „2 3/4“, und der Rechner macht daraus 11/4, bevor er teilt: Es ergibt 2,75. Für einen negativen Bruch schreibst du „-9/20“ oder „9/-20“: Er teilt den Betrag und behält das Vorzeichen, also −0,45.
Was bedeutet es, wenn die vollständige Periode nicht gefunden wurde?
Die Periode hat mehr als 2000 Ziffern. Das passiert bei 1/2017, dessen Periode 2016 Ziffern hat. Die Dezimalzahl wiederholt sich weiter, und der Bruch bleibt exakt; nur die Anzeige ist gerundet, mit ≈. Für mehr Ziffern erhöhst du die Stellenzahl bis auf 200.