Ein Bruch ergibt eine abbrechende Dezimalzahl, wenn der Nenner nach dem Kürzen nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Bleibt irgendeine andere Primzahl übrig, ist die Dezimalzahl periodisch. Zum Beispiel lässt sich 6/24 zu 1/4 kürzen und ergibt 0,25, während 7/30 im Nenner eine 3 hat und seine Dezimalzahl sich wiederholt.
Mit dieser Anleitung entscheidest du das, ohne zu dividieren. Hast du den Bruch schon und willst die Dezimalzahl sehen, nimm den Rechner Bruch in Dezimalzahl. Hast du eine periodische Dezimalzahl und suchst den Bruch, schau bei periodische Dezimalzahl in Bruch nach.
| Gekürzter Nenner | Dezimalzahl | Beispiel |
|---|---|---|
| Nur 2 und 5 (oder 1) | Abbrechend | 9/20 = 0,45 |
| Weder 2 noch 5, aber eine andere Primzahl | Reinperiodisch | 1/3 = 0,3̅ |
| 2 oder 5 und zusätzlich eine andere Primzahl | Gemischtperiodisch | 7/30 = 0,23̅ |
Die Tabelle fasst die Anleitung zusammen: Entscheidend ist nur, welche Primzahlen nach dem Kürzen im Nenner stehen. Die Periode wird mit einem Überstrich über den Ziffern gekennzeichnet; die Schreibweise mit Klammern, etwa 0,2(3), brauchst du nur, wenn du sie in ein Eingabefeld tippst.
Hättest du 24 zerlegt, ohne zu kürzen, hättest du eine 3 gesehen und auf eine periodische Dezimalzahl geschlossen. Diese 3 kürzt sich mit der 6 im Zähler weg, deshalb kommt es auf die Reihenfolge der Schritte an. Den ggT oder die Primfaktoren großer Zahlen findest du mit Hilfe von Brüche kürzen und der Primfaktorzerlegung.
Warum nur 2 und 5 zählen
Eine Dezimalzahl mit n Nachkommastellen ist ein Bruch mit dem Nenner 10ⁿ, und 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ. Deshalb ergibt ein gekürzter Bruch nur dann eine abbrechende Dezimalzahl, wenn sein Nenner aus 2 und 5 besteht. Umgekehrt gilt: Ist der gekürzte Nenner 2ᵃ × 5ᵇ, erweiterst du Zähler und Nenner um die fehlenden Faktoren, bis 10ⁿ entsteht, wobei n der größere der Exponenten a und b ist.
Bei 3/40 ist der Nenner 40 = 2³ × 5. Bis 10³ = 1000 fehlen zwei Fünfen, du erweiterst also mit 25. So ist 3/40 = 75/1000 = 0,075. Die Dezimalzahl hat so viele Stellen wie der größte Exponent, hier drei.
Das Kriterium hängt vom Zehnersystem ab und sagt nicht, welcher Bruch genauer ist: 1/3 ist eine ebenso genaue rationale Zahl wie 1/4, auch wenn ihre Dezimalschreibweise nicht endet.
Beispiel: 6/24
Endet die Dezimalzahl von 6/24?
- Prüfe den Nenner. 24 ist ungleich null und positiv, es gibt also nichts zu korrigieren.
- Kürze. Der ggT von 6 und 24 ist 6, und 6/24 = 1/4.
- Zerlege den gekürzten Nenner. 4 = 2 × 2, es gibt nur Faktoren 2.
- Erweitere auf eine Zehnerpotenz. 1/4 × 25/25 = 25/100.
Ergebnis: 6/24 = 0,25, eine Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen.
Probe: 4 × 0,25 = 1, und 24 × 0,25 = 6.
Wann die Dezimalzahl periodisch ist: rein oder gemischt
Hat der gekürzte Nenner eine andere Primzahl als 2 und 5, kommt die schriftliche Division nie auf den Rest null. Früher oder später taucht ein Rest auf, den du schon hattest, und ab da wiederholen sich dieselben Ziffern. Bei 1/6 kehrt der Rest 4 zurück und erzeugt wieder die 6.
Enthält der Nenner weder 2 noch 5, beginnt die Periode direkt nach dem Komma und die Dezimalzahl ist reinperiodisch, wie 1/7 = 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅. Enthält er 2 oder 5 und zusätzlich eine andere Primzahl, stehen zuerst Ziffern, die sich nicht wiederholen (die Vorperiode), und die Dezimalzahl ist gemischtperiodisch, wie 7/30 = 0,23̅. Der Strich markiert den Block, der sich wiederholt: 0,23̅ und 0,2333… sind dieselbe Zahl. 0,23 dagegen ist nur eine Näherung: 7/30 − 23/100 = 1/300, also 7/30 ≈ 0,23 mit einem Fehler von 1/300.
Die folgende Tabelle erfasst alle gekürzten Nenner bis 30. Du musst nur nachsehen, in welcher Zeile deiner steht.
| Art | Nenner |
|---|---|
| Abbrechend | 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 |
| Reinperiodisch | 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29 |
| Gemischtperiodisch | 6, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 26, 28, 30 |
Die Tabelle gilt nur für vollständig gekürzte Brüche. Zum Beispiel lässt sich 9/21 zu 3/7 kürzen und bleibt in der Zeile der reinperiodischen, während 15/30 zu 1/2 wird und zu den abbrechenden wechselt.
Weitere Beispiele
- 9/20 ist schon gekürzt, und 20 = 2² × 5. Du erweiterst mit 5 und erhältst 45/100 = 0,45.
- Bei 7/30 ist 30 = 2 × 3 × 5. Die 3 bleibt, also endet die Dezimalzahl nicht. Die schriftliche Division ergibt 0,2333…, das heißt 0,23̅.
- Eine ganze Zahl als Bruch. Bei 12/4 = 3/1 hat der Nenner 1 keine Primfaktoren, und die Dezimalzahl ist 3, ohne Nachkommastellen.
Zum Üben ordne 8/12, 9/40 und 7/28 ein, ohne zu dividieren, und prüfe danach mit dem Rechner Bruch in Dezimalzahl. Den Unterschied zwischen einem Dezimalbruch (Nenner 10, 100, 1000 …) und einer abbrechenden Dezimalzahl findest du in den Dezimalbrüchen. Die Schreibweise 0,9̅ = 1 und den Gebrauch der Klammern erklären die abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen.
Quellen
LibreTexts Español, Preálgebra (Arnold), 5.6 (auf Spanisch, abgerufen am 16. Oktober 2026) hält fest: Lässt sich der Nenner des gekürzten Bruchs nur in die Faktoren 2 und/oder 5 zerlegen, bricht die Dezimaldarstellung ab. OpenStax, Contemporary Mathematics, 3.4 (auf Englisch, abgerufen am 16. Oktober 2026) beschreibt eine abbrechende Dezimalzahl als eine mit einer letzten Nachkommastelle und eine periodische als eine, die ein Muster wiederholt.