Eine rationale Zahl ist jeder Wert, der sich als Quotient zweier ganzer Zahlen mit Nenner ungleich null schreiben lässt. Der Bruch ist die Schreibweise, die rationale Zahl der Wert: −6/3 und −2 sind zwei Schreibweisen derselben rationalen Zahl, ebenso wie 1/2, 2/4 und 0,5. Ob eine Dezimalzahl rational ist, erkennst du daran, dass sie abbricht oder einen Ziffernblock wiederholt (der Ratgeber zu abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen beschreibt jede Art genauer). √2 tut weder das eine noch das andere und ist deshalb kein Bruch.
| Wenn du hast … | Dann gilt | Beispiel |
|---|---|---|
| Einen Bruch ganzer Zahlen, Nenner ungleich null | Rational | −6/3 = −2 |
| Eine abbrechende Dezimalzahl | Rational, der Nenner ist eine Zehnerpotenz | 0,375 = 375/1000 = 3/8 |
| Eine Dezimalzahl mit sich wiederholendem Block | Rational, eine Subtraktion beseitigt den Rest | 0,(27) = 3/11 |
| Eine Dezimalzahl ohne Ende und ohne Wiederholung | Irrational | √2 = 1,41421356… |
Die Tabelle fasst das Kriterium zusammen: Entscheidend ist die Form der vollständigen Dezimalzahl, nicht die Zahl der Ziffern, die eine Anzeige zeigt. Eine Zahl mit vielen sichtbaren Ziffern kann rational sein, und eine mit wenigen kann abgeschnitten sein. Die Definition stimmt mit der deutschen Wikipedia überein, die rationale Zahlen als Verhältnis zweier ganzer Zahlen beschreibt und ihre Dezimalbruchentwicklung als endlich oder unendlich periodisch (abgerufen am 17. Oktober 2026).
Eine Zahl, viele Brüche
Wenn du Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl ungleich null multiplizierst, bleibt der Wert erhalten, denn du multiplizierst mit einem Bruch, der eins ergibt. So wird aus 1/2 mit dem Faktor 2/2 der Bruch 2/4, und wenn du 2 und 4 durch ihren ggT teilst, erhältst du wieder 1/2. Keine dieser Schreibweisen ist eine andere Zahl als die übrigen.
Auch die ganzen Zahlen gehören dazu: 5 = 5/1 und 0 = 0/1. Das Vorzeichen ändert nichts an der Zuordnung, also ist −3/5 rational. Ausgeschlossen ist nur der Nenner null; den Grund erklärt der Ratgeber Warum der Nenner nicht null sein darf.
So wandelst du eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch um
Von der periodischen Dezimalzahl zum Bruch kommst du mit einer Subtraktion. Bei 0,(27), gesprochen „null Komma Periode 27“, hat die Periode zwei Ziffern.
Lösungsbeispiel: 0,(27) als Bruch
Welcher vollständig gekürzte Bruch ist x = 0,272727…?
- Verschiebe um eine Periode. Der Block hat zwei Ziffern, also multiplizierst du mit 100: 100x = 27,2727…
- Subtrahiere, um den Rest zu beseitigen. 100x − x = 27, also 99x = 27.
- Löse nach x auf. x = 27/99.
- Kürze. Der ggT von 27 und 99 ist 9, und es bleibt 3/11.
Ergebnis: 0,(27) = 3/11.
Probe. 3 geteilt durch 11 ergibt 0,2727…, genau die Dezimalzahl, mit der du angefangen hast.
Hat die Dezimalzahl Ziffern vor der Periode, wie 0,58(3), multiplizierst du zuerst mit der Zehnerpotenz, die diese Ziffern links vom Komma enthält, und gehst dann genauso vor. Das Ergebnis ist 7/12. Der Rechner periodische Dezimalzahl in Bruch macht dieselbe Rechnung für jede Periode, und der Ratgeber zu abbrechenden und periodischen Dezimalzahlen erklärt, wann welche Art vorliegt.
Welche Dezimalzahl gehört zu welchem Nenner?
Die Dezimalzahl von a/b hängt, wenn der Bruch vollständig gekürzt ist, nur von b ab. Hat b ausschließlich die Primfaktoren 2 und 5, bricht die Dezimalzahl ab. Andernfalls ist sie periodisch: Streiche aus b die Faktoren 2 und 5; die Länge der Periode ist das kleinste k, für das 10^k − 1 ein Vielfaches des Rests ist. Sie ist nie größer als b − 1.
| Bruch | Dezimalzahl | Periode |
|---|---|---|
| 3/8 | 0,375 | Bricht ab, denn 8 = 2³ |
| 1/3 | 0,(3) | 1 Ziffer |
| 1/11 | 0,(09) | 2 Ziffern |
| 1/7 | 0,(142857) | 6 Ziffern |
| 1/13 | 0,(076923) | 6 Ziffern |
| 7/12 | 0,58(3) | 1 Ziffer nach 2 Ziffern ohne Wiederholung |
Bei 7/12 enthält 12 = 4 × 3 zweimal den Faktor 2, deshalb stehen zwei Ziffern vor dem Beginn der sich wiederholenden 3. Bei 1/7 und 1/13 ist die Periode 6, weil 10⁶ − 1 die erste Zahl der Form 10^k − 1 ist, die durch 7 und durch 13 teilbar ist. Diese Schritte kannst du an einem anderen Bruch mit Bruch in Dezimalzahl nachvollziehen; den abbrechenden Fall wiederholst du in Brüche mit abbrechender Dezimalzahl.
Wo die irrationalen Zahlen beginnen
Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als exakter Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben, und ihre Dezimalzahl bricht weder ab noch wiederholt sie sich. √2 ist das klassische Beispiel: Kein Bruch ergibt zum Quadrat genau 2. Wenn du 1,414 als Näherung schreibst, wird √2 dadurch nicht rational, denn 1,414 = 707/500 ist eine nahe, aber andere rationale Zahl, und der Abstand zu √2 beträgt weniger als 0,0003. Den vollständigen Beweis findest du im Artikel Warum √2 kein Bruch ist.
Dass eine Dezimalzahl unendlich viele Ziffern hat, genügt nicht für Irrationalität: 0,(3) hat sie und ist ein Drittel. Auch das Wurzelzeichen entscheidet allein nichts, denn √4 = 2 ist rational und √2 nicht. Ordne den ausgerechneten Wert ein, nicht die Schreibweise.
Hier geht es weiter
Wenn du eine kurze Erklärung eines Begriffs suchst, findest du die Begriffe in einer Tabelle im Bruchrechnung-Glossar. Um eine rationale Zahl praktisch als Quotient ganzer Zahlen zu sehen, rechnet der Bruchrechner damit, ohne den Umweg über Dezimalzahlen. Willst du von einer Dezimalzahl zu ihrem Bruch, zeigt dir der Rechner Dezimalzahl in Bruch die Schritte.
Quellen
- Deutsche Wikipedia, Artikel Rationale Zahl, mit der Definition als Verhältnis ganzer Zahlen und der endlichen oder unendlich periodischen Dezimalbruchentwicklung (abgerufen am 17. Oktober 2026).