Ein Bruch ist eine Division, und eine Division durch null hat kein Ergebnis. 3/0 ist daher ohne Wert, denn mal 0 kommt nie 3 heraus. Steht die Null oben, sieht es anders aus: 0/5 ergibt 0, nur 0/0 lässt sich nicht festlegen. Zum Dividieren von Brüchen gibt es den Rechner Brüche dividieren, der bei einem Divisor gleich null stoppt. Für Ausdrücke mit x zeigt der Ratgeber Algebraische Brüche und Definitionsmenge, wie du die ausgeschlossenen Werte findest.
Was bei einer Null in jedem Fall gilt
a geteilt durch b heißt, die Zahl q zu suchen, für die b × q = a gilt. Diese Probe entscheidet alle drei Fälle mit einer Null. Wenn du unsicher bist, welche Zahl welche ist, wiederhole zuerst Zähler und Nenner.
| Ausdruck | Gleichung für q | Ergebnis |
|---|---|---|
| 8/0 | 0 × q = 8 | Kein q erfüllt sie: ohne Wert |
| 0/0 | 0 × q = 0 | Jedes q erfüllt sie: unbestimmt |
| 0/5 | 5 × q = 0 | Nur q = 0: Wert 0 |
Bei 8/0 bräuchte man ein q mit 0 × q = 8, aber null mal jede Zahl ergibt 0. Das Ergebnis kann also nicht 8 sein, und eine andere Zahl passt ebenso wenig. Mit Null oben und unten ist es umgekehrt: q = −2, q = 0 und q = 5 passen gleichermaßen, und ohne einen eindeutigen Wert gibt es keinen Quotienten, den man wählen könnte. Bei 0/5 stimmt die Gleichung nur für q = 0. Deshalb gilt „null geteilt durch etwas ergibt null“ nur dann, wenn dieses Etwas nicht null ist.
Beispiel: 4/5 durch null und null durch 4/5
Beide Rechnungen verwenden dieselben Zahlen, aber nur eine hat ein Ergebnis.
- Schreibe die Division als Multiplikation. 0 ÷ 4/5 = q heißt, dass q mal dieser Bruch 0 ergibt.
- Löse sie. Ein Produkt ist nur null, wenn ein Faktor null ist, und dieser Faktor ist es nicht. Also gilt q = 0.
- Wiederhole das mit der Null als Divisor. 4/5 geteilt durch 0 gleich q hieße, dass 0 × q gleich diesem Bruch ist, und keine Zahl erfüllt das.
- Sieh es über den Kehrwert. Durch diesen Bruch zu teilen heißt, mit 5/4 zu multiplizieren, und 0 × 5/4 = 0. Durch 0 zu teilen verlangte, mit 1/0 zu multiplizieren, dem verbotenen Bruch.
Ergebnis. 0 ÷ 4/5 = 0, und 4/5 ÷ 0 hat keinen Wert.
Probe. Der Bruch mal 0 ergibt 0, das bestätigt die erste Rechnung. Für die zweite gibt es keine Probe, und genau das zeigt, dass es kein Ergebnis gibt.
Auch ein Divisor, der wie ein gewöhnlicher Bruch aussieht, kann null sein. In 3/4 ÷ 0/5 hat der Divisor 0/5 den Wert 0, die Rechnung scheitert also genauso. Warum die Null keinen Kehrwert hat, siehst du beim Kehrwert eines Bruchs.
Kürzen, ohne den ausgeschlossenen Wert zu verlieren
Bei (x² − 1)/(x − 1) zerlegst du den Zähler in (x − 1)(x + 1) und kürzt x − 1. Es bleibt x + 1, aber nur für x ≠ 1, denn für x = 1 ergibt der ursprüngliche Bruch null durch null. Für x = 3 stimmen beide Formen überein, weil 8/2 = 4 und 3 + 1 = 4 gilt. Bei x = 1 existiert der ursprüngliche Bruch nicht, während x + 1 den Wert 2 ergäbe. Deshalb ist der Graph die Gerade y = x + 1 mit einer Lücke im Punkt (1, 2). Notiere die Einschränkung vor dem Kürzen, indem du den ursprünglichen Nenner gleich null setzt.
Für solche Einschränkungen gibt es passende Werkzeuge. Algebraische Brüche vereinfachen behält die Ausschlüsse neben dem Ergebnis, und Bruchgleichungen lösen verwirft die Lösungen, die einen Nenner null machen.
Ein kleiner Divisor ist kein Divisor null
Teilst du durch immer kleinere Zahlen, wachsen die Ergebnisse: 1 ÷ 1/10 = 10 und 1 ÷ 1/100 = 100. Daher kommt die Vorstellung, 1/0 sei unendlich. Bei negativen Divisoren passiert aber das Gegenteil, denn 1 ÷ (−1/100) = −100, und die Quotienten sinken ohne Grenze. Da das Verhalten davon abhängt, von welcher Seite du dich der Null näherst, passt kein einzelner Wert. Unendlich beschreibt, wohin ein Ausdruck in einem Grenzwert strebt. Die Division selbst liefert es nicht als Ergebnis, und 1/0 bleibt nicht definiert.
Üben
- Welchen Wert hat 6/0?
- Welchen Wert hat 0/(−6)?
- Wie viel ist 2/3 ÷ 0?
- Vereinfache (x² − 9)/(x − 3) und schreibe die Einschränkung auf.
Lösungen anzeigen
- Kein Wert, weil kein q die Gleichung 0 × q = 6 erfüllt.
- Der Wert ist 0, weil (−6) × 0 = 0.
- Kein Wert, weil der Divisor null ist.
- x + 3, mit x ≠ 3.