Una frazione è una divisione, e dividere per zero non ha risultato. Per questo 3/0 non ha valore: nessun numero moltiplicato per 0 dà 3. Con lo zero al numeratore cambia tutto, perché 0/5 vale 0, mentre 0/0 non si può stabilire. Per dividere frazioni c’è la calcolatrice per la divisione di frazioni, che si ferma davanti a un divisore uguale a zero. Per le espressioni con x, la guida sulle frazioni algebriche e le condizioni di esistenza mostra come trovare i valori esclusi.
Cosa succede in ciascun caso con lo zero
Dividere a per b significa cercare il numero q tale che b × q = a. Questa verifica decide i tre casi con lo zero. Se non ricordi quale sia quale, ripassa prima numeratore e denominatore.
| Espressione | Equazione per q | Conclusione |
|---|---|---|
| 8/0 | 0 × q = 8 | Nessun q la soddisfa: impossibile (senza valore) |
| 0/0 | 0 × q = 0 | Tutti i q la soddisfano: indeterminato |
| 0/5 | 5 × q = 0 | Solo q = 0: vale 0 |
Per 8/0 servirebbe un q tale che 0 × q = 8, ma zero per qualsiasi numero dà 0. Il risultato quindi non può essere 8, e non ne esiste un altro che vada bene. Con zero sopra e sotto succede il contrario: q = −2, q = 0 e q = 5 vanno bene allo stesso modo, e senza un valore unico non c’è un quoziente da scegliere. Con 0/5 l’equazione è vera solo per q = 0. Per questo «zero diviso un numero dà zero» vale soltanto se quel numero non è zero.
Esempio svolto: 4/5 diviso zero e zero diviso 4/5
I due calcoli usano gli stessi numeri, ma solo uno dei due ha un risultato.
- Scrivi la divisione come moltiplicazione. Dire che 0 ÷ 4/5 vale q significa dire che q moltiplicato per quella frazione dà 0.
- Risolvila. Un prodotto è zero solo se lo è uno dei fattori, e la frazione non lo è, quindi q = 0.
- Ripeti con lo zero come divisore. Dire che la frazione divisa per 0 vale q significa dire che 0 × q è quella frazione, e nessun numero lo soddisfa.
- Guardalo con il reciproco. Dividere per 4/5 equivale a moltiplicare per 5/4, e 0 × 5/4 = 0. Dividere per 0 richiederebbe di moltiplicare per 1/0, la frazione vietata.
Risultato. 0 ÷ 4/5 = 0, mentre 4/5 ÷ 0 non ha valore.
Verifica. Moltiplicare la frazione per 0 dà 0, e questo conferma il primo. Per il secondo non esiste verifica, ed è il segnale che non c’è risultato.
Anche un divisore che sembra una frazione normale può essere zero. In 3/4 ÷ 0/5 il divisore 0/5 vale 0, quindi il calcolo fallisce lo stesso. Per capire perché lo zero non ha reciproco, guarda il reciproco di una frazione.
Semplificare senza perdere il valore escluso
In (x² − 1)/(x − 1), scomponi il numeratore come (x − 1)(x + 1) e semplifica x − 1. Resta x + 1, ma solo per x ≠ 1, perché con x = 1 la frazione di partenza diventa zero diviso zero. Con x = 3 le due forme coincidono, dato che 8/2 = 4 e 3 + 1 = 4. Con x = 1 la frazione originale non esiste, mentre x + 1 darebbe 2. Per questo il grafico è la retta y = x + 1 con un buco nel punto (1, 2). Scrivi la condizione prima di semplificare, ponendo uguale a zero il denominatore originale.
Per lavorare con queste condizioni ci sono strumenti precisi. Quello per semplificare le frazioni algebriche conserva le esclusioni accanto al risultato, e quello per le equazioni con frazioni scarta le soluzioni che annullano un denominatore.
Un divisore piccolo non è un divisore zero
Dividendo per numeri sempre più piccoli, i risultati crescono: 1 ÷ 1/10 = 10 e 1 ÷ 1/100 = 100. Da qui nasce l’idea che 1/0 sia infinito. Ma con divisori negativi succede l’opposto, perché 1 ÷ (−1/100) = −100 e i quozienti scendono senza limite. Poiché il comportamento dipende dal lato da cui ci si avvicina allo zero, nessun valore unico va bene. L’infinito descrive dove tende un’espressione in un limite. La divisione in sé non lo dà come risultato, e 1/0 resta non definito.
Esercitati
- Quanto vale 6/0?
- Quanto vale 0/(−6)?
- Quanto fa 2/3 ÷ 0?
- Semplifica (x² − 9)/(x − 3) e scrivi la condizione.
Vedi le risposte
- Non ha valore, perché nessun q soddisfa 0 × q = 6.
- Vale 0, perché (−6) × 0 = 0.
- Non ha valore, perché il divisore è zero.
- x + 3, con x ≠ 3.