Pecahan adalah pembagian, dan membagi dengan nol tidak punya hasil. Karena itu 3/0 tidak bernilai apa-apa: tidak ada bilangan yang dikali 0 hasilnya 3. Kalau nol ada di pembilang, hasilnya lain, sebab 0/5 bernilai 0, sedangkan 0/0 tidak bisa ditentukan. Untuk membagi pecahan, kalkulator pembagian pecahan berhenti saat pembaginya sama dengan nol, dan untuk ekspresi dengan x, panduan pecahan aljabar dan domain menunjukkan cara mencari nilai yang dilarang.
Apa yang terjadi pada tiap kasus dengan nol
Membagi a dengan b berarti mencari bilangan q yang memenuhi b × q = a. Pemeriksaan itu menentukan ketiga kasus dengan nol. Kalau kamu lupa mana yang mana, ulangi dulu pembilang dan penyebut.
| Ekspresi | Persamaan untuk q | Kesimpulan |
|---|---|---|
| 8/0 | 0 × q = 8 | Tidak ada q yang cocok: tidak punya nilai |
| 0/0 | 0 × q = 0 | Semua q cocok: tak tentu |
| 0/5 | 5 × q = 0 | Hanya q = 0: bernilai 0 |
Untuk 8/0 dibutuhkan q dengan 0 × q = 8, tetapi nol dikali bilangan apa pun hasilnya 0. Jadi hasilnya tidak mungkin 8, dan tidak ada bilangan lain yang cocok. Dengan nol di atas dan di bawah, yang terjadi sebaliknya: q = −2, q = 0, dan q = 5 sama-sama cocok, dan tanpa satu nilai tunggal tidak ada hasil bagi yang bisa dipilih. Untuk 0/5, persamaannya hanya terpenuhi oleh q = 0. Itulah sebabnya “nol dibagi sesuatu hasilnya nol” hanya benar kalau sesuatu itu bukan nol.
Contoh soal: 4/5 dibagi nol dan nol dibagi 4/5
Kedua hitungan memakai bilangan yang sama, tetapi hanya satu yang punya hasil.
- Tulis pembagian sebagai perkalian. Mengatakan bahwa 0 ÷ 4/5 bernilai q sama dengan mengatakan bahwa q dikali pecahan itu hasilnya 0.
- Selesaikan. Hasil kali bernilai nol hanya jika ada faktor yang nol, dan pecahan itu bukan nol, jadi q = 0.
- Ulangi dengan nol sebagai pembagi. Mengatakan bahwa pecahan itu dibagi 0 bernilai q sama dengan mengatakan bahwa 0 × q adalah pecahan itu, dan tidak ada bilangan yang memenuhinya.
- Lihat lewat kebalikan. Membagi dengan 4/5 sama dengan mengalikan dengan 5/4, dan 0 × 5/4 = 0. Membagi dengan 0 menuntut perkalian dengan 1/0, pecahan yang dilarang.
Hasil. 0 ÷ 4/5 = 0, dan 4/5 ÷ 0 tidak punya nilai.
Pemeriksaan. Pecahan itu dikali 0 hasilnya 0, dan itu membenarkan yang pertama. Untuk yang kedua tidak ada pemeriksaan yang mungkin, dan itu tanda bahwa memang tidak ada hasil.
Pembagi yang tampak seperti pecahan biasa pun bisa bernilai nol. Pada 3/4 ÷ 0/5, pembagi 0/5 bernilai 0, jadi hitungan itu gagal juga. Untuk memahami mengapa nol tidak punya kebalikan, lihat kebalikan pecahan.
Menyederhanakan tanpa kehilangan nilai yang dilarang
Pada (x² − 1)/(x − 1), faktorkan pembilangnya menjadi (x − 1)(x + 1) lalu coret x − 1. Hasilnya x + 1, tetapi hanya untuk x ≠ 1, karena dengan x = 1 pecahan semula menjadi nol dibagi nol. Dengan x = 3 kedua bentuk sama, sebab 8/2 = 4 dan 3 + 1 = 4. Dengan x = 1 bentuk semula tidak ada, sedangkan x + 1 akan bernilai 2. Karena itu grafiknya adalah garis y = x + 1 dengan lubang di titik (1, 2). Catat syaratnya sebelum mencoret, dengan menyamakan penyebut semula dengan nol.
Ada alat khusus untuk bekerja dengan syarat seperti ini. Penyederhana pecahan aljabar menyimpan nilai yang dikecualikan bersama hasilnya, dan kalkulator persamaan pecahan membuang solusi yang membuat penyebut nol.
Pembagi kecil bukan pembagi nol
Saat membagi dengan bilangan yang makin kecil, hasilnya makin besar: 1 ÷ 1/10 = 10 dan 1 ÷ 1/100 = 100. Dari sinilah muncul anggapan bahwa 1/0 adalah tak hingga. Tetapi dengan pembagi negatif yang terjadi sebaliknya, karena 1 ÷ (−1/100) = −100 dan hasilnya turun tanpa batas. Karena perilakunya bergantung pada sisi mana kamu mendekati nol, tidak ada nilai tunggal yang cocok. Tak hingga menggambarkan ke mana suatu ekspresi menuju dalam limit. Pembagian itu sendiri tidak menghasilkannya, dan 1/0 tetap tidak terdefinisi.
Latihan
- Berapa nilai 6/0?
- Berapa nilai 0/(−6)?
- Berapa 2/3 ÷ 0?
- Sederhanakan (x² − 9)/(x − 3) dan tulis syaratnya.
Lihat jawaban
- Tidak punya nilai, karena tidak ada q yang memenuhi 0 × q = 6.
- Bernilai 0, karena (−6) × 0 = 0.
- Tidak punya nilai, karena pembaginya nol.
- x + 3, dengan x ≠ 3.