Une fraction est une division, et diviser par zéro n’a pas de résultat. Voilà pourquoi 3/0 ne vaut rien : multiplié par 0, aucun nombre ne donne 3. Avec le zéro au numérateur, tout change, car 0/5 vaut 0, tandis que 0/0 ne peut pas être déterminé. Pour diviser des fractions, la calculatrice pour diviser des fractions s’arrête devant un diviseur égal à zéro. Pour les expressions avec x, le guide sur les fractions algébriques et le domaine montre comment trouver les valeurs interdites.
Ce qui se passe dans chaque cas avec un zéro
Diviser a par b, c’est chercher le nombre q tel que b × q = a. Cette vérification tranche les trois cas avec un zéro. Si vous ne savez plus lequel est lequel, revoyez d’abord le numérateur et le dénominateur.
| Expression | Équation pour q | Conclusion |
|---|---|---|
| 8/0 | 0 × q = 8 | Aucun q ne convient : pas de valeur |
| 0/0 | 0 × q = 0 | Tous les q conviennent : indéterminé |
| 0/5 | 5 × q = 0 | Seulement q = 0 : vaut 0 |
Pour 8/0, il faudrait un q tel que 0 × q = 8, mais zéro multiplié par n’importe quel nombre donne 0. Le résultat ne peut donc pas être 8, et aucun autre ne convient. Avec un zéro en haut et en bas, c’est l’inverse : q = −2, q = 0 et q = 5 conviennent aussi bien l’un que l’autre, et sans valeur unique il n’y a pas de quotient à choisir. Avec 0/5, l’équation n’est vraie que pour q = 0. C’est pourquoi « zéro divisé par un nombre donne zéro » ne vaut que si ce nombre n’est pas zéro.
Exemple résolu : 4/5 divisé par zéro et zéro divisé par 4/5
Les deux calculs utilisent les mêmes nombres, mais un seul d’entre eux a un résultat.
- Écrivez la division comme une multiplication. Dire que 0 ÷ 4/5 vaut q, c’est dire que q multiplié par cette fraction donne 0.
- Résolvez-la. Un produit est nul seulement si l’un des facteurs l’est, et la fraction ne l’est pas, donc q = 0.
- Recommencez avec le zéro comme diviseur. Dire que la fraction divisée par 0 vaut q, c’est dire que 0 × q est cette fraction, et aucun nombre ne convient.
- Regardez avec l’inverse. Diviser par 4/5 revient à multiplier par 5/4, et 0 × 5/4 = 0. Diviser par 0 obligerait à multiplier par 1/0, la fraction interdite.
Résultat. 0 ÷ 4/5 = 0, et 4/5 ÷ 0 n’a pas de valeur.
Vérification. Multiplier la fraction par 0 donne 0, ce qui confirme le premier calcul. Pour le second, aucune vérification n’existe, et c’est le signe qu’il n’y a pas de résultat.
Un diviseur qui ressemble à une fraction ordinaire peut lui aussi être nul. Dans 3/4 ÷ 0/5, le diviseur 0/5 vaut 0, donc le calcul échoue de la même façon. Pour comprendre pourquoi zéro n’a pas d’inverse, consultez l’inverse d’une fraction.
Simplifier sans perdre la valeur interdite
Dans (x² − 1)/(x − 1), factorisez le numérateur en (x − 1)(x + 1) et simplifiez par x − 1. Il reste x + 1, mais seulement pour x ≠ 1, car pour x = 1 la fraction de départ devient zéro sur zéro. Pour x = 3, les deux formes coïncident, puisque 8/2 = 4 et 3 + 1 = 4. Pour x = 1, la fraction d’origine n’existe pas, alors que x + 1 donnerait 2. C’est pourquoi le graphe est la droite y = x + 1 avec un trou au point (1 ; 2). Notez la restriction avant de simplifier, en posant le dénominateur d’origine égal à zéro.
Pour travailler avec ces restrictions, des outils précis existent. Celui qui permet de simplifier des fractions algébriques conserve les exclusions à côté du résultat, et celui des équations avec fractions écarte les solutions qui annulent un dénominateur.
Un petit diviseur n’est pas un diviseur nul
Quand on divise par des nombres de plus en plus petits, les résultats grandissent : 1 ÷ 1/10 = 10 et 1 ÷ 1/100 = 100. De là vient l’idée que 1/0 est infini. Mais avec des diviseurs négatifs, c’est l’inverse, car 1 ÷ (−1/100) = −100 et les quotients descendent sans limite. Comme le comportement dépend du côté par lequel on s’approche de zéro, aucune valeur unique ne convient. L’infini décrit la direction que prend une expression dans une limite. La division elle-même ne le donne pas comme résultat, et 1/0 reste non défini.
Entraînez-vous
- Combien vaut 6/0 ?
- Combien vaut 0/(−6) ?
- Combien font 2/3 ÷ 0 ?
- Simplifiez (x² − 9)/(x − 3) et écrivez la restriction.
Voir les réponses
- Pas de valeur, car aucun q ne vérifie 0 × q = 6.
- Il vaut 0, car (−6) × 0 = 0.
- Pas de valeur, car le diviseur est zéro.
- x + 3, avec x ≠ 3.