L’inverse d’une fraction s’obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur : celui de 5/8 est 8/5. On l’appelle aussi inverse multiplicatif, et c’est le nombre qui, multiplié par la fraction, donne 1. Grâce à lui, diviser revient à multiplier, comme dans la division de fractions, dont pourquoi diviser par une fraction peut augmenter le résultat explique l’intuition.
Le seul nombre sans inverse est 0.
| Vous avez | Faites ceci | Inverse |
|---|---|---|
| Une fraction, 3/4 | Échangez numérateur et dénominateur | 4/3 |
| Un entier, 5 | Écrivez-le 5/1 et échangez | 1/5 |
| Un nombre mixte, 3 1/7 | Passez à la fraction impropre et échangez | 7/22 |
| Une fraction négative, −4/9 | Échangez les termes et gardez le signe | −9/4 |
| Zéro | Il n'y a rien à faire | N'existe pas |
Le tableau couvre tous les cas du guide. Seule la préparation change ; l’échange des termes est toujours le même.
Une fraction supérieure à 1 s’inverse de la même façon. L’inverse de 9/4 est 4/9, qui est inférieur à 1. En général, l’inverse d’une fraction positive inférieure à 1 est supérieur à 1, et inversement.
L’outil nombre mixte en fraction fait la première étape. L’ordre s’explique ainsi : un nombre mixte est la somme d’un entier et d’une fraction, pas un quotient unique.
Entiers et négatifs : le signe ne change pas
Tout entier est une fraction de dénominateur 1, donc l’inverse de n est 1/n. C’est pourquoi diviser par 5 revient à multiplier par 1/5. Pour les nombres négatifs, le signe reste où il est. L’inverse de −4/9 est −9/4, car le produit de deux nombres négatifs est positif et (−4/9) × (−9/4) = 36/36 = 1. Si vous changiez le signe, le produit vaudrait −1.
Exemple résolu : l'inverse de 3 1/7
Vous voulez inverser un nombre mixte, composé d'un entier et d'une fraction.
- Passez à la fraction impropre. 3 × 7 + 1 = 22, donc 3 1/7 = 22/7.
- Échangez numérateur et dénominateur. Le 22 passe en bas et le 7 passe en haut.
- Écrivez le résultat. 7/22.
L'inverse est 7/22.
Vérification : 22/7 × 7/22 = 154/154 = 1.
Inverse multiplicatif et opposé
Les deux inverses répondent à des questions différentes. L’opposé, ou inverse additif, est ce que vous ajoutez pour arriver à 0 ; on l’obtient en changeant le signe. L’inverse multiplicatif est ce par quoi vous multipliez pour arriver à 1 ; on l’obtient en échangeant les termes.
| Nombre | Opposé (somme 0) | Inverse (produit 1) |
|---|---|---|
| −4/9 | 4/9 | −9/4 |
| 5 | −5 | 1/5 |
| 0 | 0 | n’existe pas |
Zéro est son propre opposé, mais il n’a pas d’inverse, car 0 × x vaut 0 pour tout x et jamais 1. Pour la même raison, 5/0 n’est pas un nombre, comme l’explique pourquoi le dénominateur ne peut pas être nul.
Les deux nombres qui sont leur propre inverse
Un nombre x est égal à son inverse quand x = 1/x. Cette égalité exige x ≠ 0. Ensuite, en multipliant par x, il reste x² = 1, qui a deux solutions, 1 et −1. Tout autre nombre s’éloigne de son inverse. Celui de 2 est 1/2, et celui de 1/2 est 2. Plus une fraction positive est petite, plus son inverse est grand.
À quoi sert l’inverse : diviser
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Pour 2/7 ÷ 3/4, on n’inverse que le diviseur. Ainsi, 2/7 × 4/3 = 8/21. On vérifie à l’envers, car 8/21 × 3/4 = 24/84 = 2/7, le dividende de départ. Si vous inversiez aussi la première fraction, le résultat serait un autre nombre : le dividende reste donc tel quel.
Le même procédé sert à isoler une inconnue dont le coefficient est une fraction et à calculer des puissances à exposant négatif. Chacun de ces cas a son guide et son calculateur : équations avec fractions et puissances de fractions.
Exercices
Trouvez l'inverse
- 7/10
- −6
- 3 1/4
Voir les réponses
- 10/7, car 7/10 × 10/7 = 1.
- −1/6, car (−6) × (−1/6) = 1.
- 4/13, car 3 1/4 = 13/4 et 13/4 × 4/13 = 1.
Sources
- Wikipédia en français, article Inverse : pour les nombres réels, définit l’inverse d’un nombre x comme celui qui, multiplié par x, donne 1, et ne l’associe qu’aux réels non nuls (consulté le 17 octobre 2026).