Un nombre comme −5/7 peut s’écrire avec le signe devant, au numérateur ou au dénominateur, et il vaut toujours la même chose. La règle des signes ne décide que des produits et des quotients. Pour les additions et les soustractions, ce qui compte est la position des nombres sur la droite ; c’est pourquoi additionner et soustraire avec des négatifs ne fonctionne pas comme multiplier.
| Situation | Que faire du signe | Exemple |
|---|---|---|
| Le déplacer | C’est le même nombre dans les trois positions | 6/(−11) = −6/11 |
| Additionner ou soustraire | Comparez les valeurs absolues et utilisez un dénominateur commun | −4/9 + 1/3 = −1/9 |
| Multiplier ou diviser | Signes identiques : positif ; signes différents : négatif | (−3/5) ÷ (3/10) = −2 |
| Nombre mixte négatif | Le signe porte sur tout le nombre mixte | −1 1/5 = −6/5 |
Selon la ligne, le signe se place, se compare ou se compte ; seule la ligne de la multiplication et de la division applique la règle « moins par moins donne plus ».
Soustraire et multiplier avec les mêmes chiffres
Avec les mêmes chiffres et les mêmes signes, une soustraction et un produit donnent des résultats différents, car l’opération change. Ce contraste explique presque toutes les erreurs sur ce sujet.
Exemple résolu : −4/7 − 3/7 face à (−4/7) × (−3/7)
Calculez −4/7 − 3/7 et (−4/7) × (−3/7).
- Soustraction. Les dénominateurs sont déjà identiques ; vous combinez donc les numérateurs avec leur signe : −4 − 3 = −7.
- Simplifiez la soustraction. −7/7 = −1.
- Produit. Les deux facteurs sont négatifs, donc le résultat est positif. Vous multipliez 4 × 3 = 12 en haut et 7 × 7 = 49 en bas.
La soustraction donne −1 et le produit donne 12/49.
Pour vérifier, −1 + 3/7 = −4/7, le point de départ de la soustraction. Et 12/49 ÷ (−3/7) = 12/49 × (−7/3) = −84/147 = −4/7, le premier facteur du produit.
Dans la soustraction, vous partez d’un nombre négatif et vous avancez encore de trois septièmes vers la gauche, jusqu’à −1. Dans le produit, il n’y a pas de déplacement : on multiplie deux quantités, et des signes identiques donnent un produit positif. Transformer les deux signes de la soustraction en un plus, comme dans un produit, donnerait −1/7, ce qui est faux.
Où placer le signe
Déplacer le signe du dénominateur au numérateur ne change pas la valeur. Par exemple, 6/(−11) = −6/11 = −(6/11). Pour le voir, multipliez le numérateur et le dénominateur par −1. Si les deux termes sont négatifs, le signe disparaît : (−5)/(−7) = 5/7.
On laisse en général le dénominateur positif et le signe devant, car cela facilite la comparaison et la simplification. Zéro n’a pas de signe : 0/(−7) vaut 0. Le dénominateur, avec ou sans signe, ne peut jamais être nul.
La droite graduée le confirme. −5/7 et 5/7 sont à la même distance de zéro, un de chaque côté ; ce sont donc des opposés, et leur somme vaut 0.
Additionner et soustraire avec des négatifs
Ici, on ne compte pas les signes : on raisonne en positions. Ajouter un nombre négatif déplace vers la gauche, ajouter un nombre positif déplace vers la droite. Dans −4/9 + 1/3, vous passez aux neuvièmes, −4/9 + 3/9, et le résultat est −1/9. Il est négatif parce que 4/9 pèse plus que 1/3 : c’est le signe du terme de plus grande valeur absolue qui l’emporte.
Soustraire revient à ajouter l’opposé. Ainsi, 1/8 − (−3/4) = 1/8 + 6/8 = 7/8, un résultat plus grand que 1/8. La parenthèse indique que le second moins appartient au nombre que l’on soustrait. Les calculatrices pour additionner des fractions et pour soustraire des fractions acceptent des termes négatifs et affichent le dénominateur commun.
Multiplier et diviser avec des négatifs
Pour des produits et des quotients de valeurs non nulles, des signes identiques donnent un résultat positif et des signes différents un résultat négatif. Vous décidez d’abord du signe, puis vous calculez avec les valeurs absolues. Avec (−7/9) × (3/14), le signe est négatif et le calcul donne 21/126. Après réduction, le résultat est −1/6.
Pour diviser, inversez seulement le diviseur et gardez son signe. Dans (−3/5) ÷ (3/10), on passe à (−3/5) × (10/3) = −30/15 = −2. Si vous inversez le premier nombre au lieu du diviseur, le résultat est faux. Si le diviseur vaut 0, il n’a pas d’inverse et la division n’est pas définie. Pour des calculs plus longs, la calculatrice de multiplication et celle pour diviser des fractions appliquent la même règle.
Nombres mixtes négatifs
Dans −1 1/5, le signe porte sur tout le nombre mixte : cela signifie −(1 + 1/5), soit −6/5. Cela ne se lit pas −1 + 1/5, qui vaut −4/5. Il en va de même pour −2 1/4 : −(8/4 + 1/4) = −9/4, alors que −2 + 1/4 = −7/4.
Convertissez d’abord la partie positive et appliquez le signe à la fin. Si vous hésitez sur la lecture d’un nombre mixte, écrivez-le sous forme de fraction impropre. L’outil de nombre mixte en fraction a des champs séparés pour l’entier et la fraction, si bien que le signe ne dépend pas d’une espace.
Exercices avec des signes
Décidez d’abord du signe attendu, calculez, puis vérifiez avec l’opération inverse ou avec la droite. En plaçant chaque résultat sur la droite, regardez s’il tombe du côté de zéro que vous attendiez.
Entraînez-vous
- −7/10 + 3/10
- 2/9 − (−4/9)
- (−3/4) × (8/9)
- (−5/8) ÷ (−5/6)
Voir les réponses
- −4/10 = −2/5. Les deux termes sont de part et d’autre de zéro, et celui de plus grande valeur absolue l’emporte.
- 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3, car soustraire un négatif revient à ajouter son opposé.
- −24/36 = −2/3. Un seul facteur négatif donne un produit négatif.
- (−5/8) × (−6/5) = 30/40 = 3/4. Les deux signes sont identiques et le résultat est positif.
Pour estimer sans calculer si un résultat doit être plus grand ou plus petit que 0, 1/2 ou 1, consultez le guide des fractions repères.
Sources
Wikipédia en français, article Multiplication, section « Multiplication avec des nombres négatifs » : elle donne la règle des signes, selon laquelle deux facteurs de même signe ont un produit positif et deux facteurs de signes différents un produit négatif (consulté le 17 octobre 2026).