Diviser un nombre positif par une fraction inférieure à 1 donne un résultat plus grand, car la division compte combien de petits morceaux tiennent dans la quantité : dans 2, il y a 10 morceaux de 1/5. Avec un ruban, c’est pareil. Un ruban de 3/4 m coupé en morceaux de 1/4 m donne 3 morceaux. Le résultat dépasse la longueur de départ parce que chaque morceau est petit, donc il en tient beaucoup. Cela vaut pour les quantités positives et les diviseurs compris entre 0 et 1.
Longueur totale : 3/4 m
3/4 ÷ 1/4 = 3Résultat : 3 morceaux
La difficulté est de lire le résultat. Un 3 supérieur à la longueur initiale semble dire que quelque chose a grandi, mais le 3 compte des morceaux alors que la longueur se mesure en mètres. Pour la méthode de l’opération, avec tous les cas, utilisez la calculatrice pour diviser des fractions. Ce guide explique le pourquoi.
D’où vient la multiplication par l’inverse
Une unité entière contient autant de groupes de 1/n que n l’indique : dans 1, il y a 4 quarts, 5 cinquièmes ou 10 dixièmes. Diviser par 1/n revient donc à multiplier par n. Avec 2/5 ÷ 1/10, dans 2/5 il y a 2/5 × 10 = 4 dixièmes, de même que le ruban ci-dessus a servi à compter des morceaux.
Pour un diviseur c/d, une unité contient d/c groupes, d’où la règle générale a ÷ (c/d) = a × d/c. On n’inverse que le diviseur, car c’est lui qui représente le morceau que l’on compte. Si le diviseur est inférieur à 1, son inverse est supérieur à 1 et multiplier par lui agrandit le dividende. Le guide sur l’inverse d’une fraction détaille cet inverse.
Exemple résolu : morceaux d’un demi-mètre
Le même ruban est maintenant coupé en morceaux d’un demi-mètre. Combien de morceaux obtient-on ?
- Posez la question. Il faut compter combien de groupes de 1/2 tiennent dans 3/4, c’est-à-dire calculer 3/4 ÷ 1/2.
- Inversez seulement le diviseur. L’inverse du diviseur est 2, et en multipliant par 2 on obtient 6/4.
- Simplifiez. Le PGCD de 6 et 4 est 2, donc 6/4 = 3/2.
- Lisez le résultat. Il y tient un morceau entier et un demi-morceau, soit 1,5 morceau.
Résultat : 3/2 morceau.
Vérification : trois demis de morceau, d’un demi-mètre chacun, font la longueur du ruban.
Quand le quotient cesse d’augmenter
La condition complète comporte deux parties : le dividende doit être positif et le diviseur doit être compris entre 0 et 1. Le tableau montre ce qui se passe quand l’une d’elles manque.
| Cas | Exemple | Effet sur la valeur |
|---|---|---|
| Diviseur entre 0 et 1 | 5/6 ÷ 1/3 = 5/2 | Augmente |
| Diviseur égal à 1 | 7/9 ÷ 1 = 7/9 | Ne change pas |
| Diviseur supérieur à 1 | 2/3 ÷ 3/2 = 4/9 | Diminue |
| Dividende négatif | −3 ÷ 1/2 = −6 | Diminue |
Dans le dernier cas, la valeur absolue augmente, mais −6 se trouve à gauche de −3 sur la droite graduée : la valeur baisse. La phrase « diviser par une fraction augmente » est donc courte et cache deux conditions. Avec un diviseur négatif, le signe change aussi : déterminez d’abord le signe, puis comparez les grandeurs.
Il n’est pas non plus nécessaire que le quotient dépasse 1. Avec 1/5 ÷ 1/2 = 2/5, le résultat est inférieur à 1 mais supérieur à 1/5 : un cinquième ne remplit pas un groupe d’un demi, il en remplit seulement deux cinquièmes.
Quelle est l’unité du quotient
Quand vous divisez deux mesures de même unité, le quotient n’a pas d’unité et compte des groupes. Avec deux unités différentes, comme des kilomètres et des heures, le quotient est un taux, par exemple en km/h. Dans les deux cas, le quotient dit combien de fois le diviseur tient dans le dividende, pas combien mesure le total.
Exercices
- Calculez 5/8 ÷ 1/4.
- Calculez 4/9 ÷ 2/3 et dites si le résultat dépasse 1.
- Combien de morceaux de 1/3 m obtient-on avec un ruban de 5 m ?
Voir les réponses
- 5/2, car 5/8 × 4 = 5/2.
- 2/3, car 4/9 × 3/2 = 2/3. Il ne dépasse pas 1, mais il est supérieur à 4/9.
- 15 morceaux, car 5 × 3 = 15.
Pour aller plus loin
Pour voir le même effet avec une multiplication, le guide multiplier par une fraction inférieure à 1 montre pourquoi le résultat y baisse. Pour des exercices avec solution, voyez les exercices de fractions corrigés. La droite graduée aide à comparer les résultats signés, et les représentations de fractions permettent de dessiner les groupes.
Sources
Wikipédia en français, article Division (mathématiques), introduction : présente la division comme le produit du premier nombre par l’inverse du second (consulté le 17 octobre 2026).