Une fraction entre 0 et 1 prend une partie de la quantité, et une partie est plus petite que le tout. Ainsi, 2/3 de 12 font 8, ce qui est moins que 12. Si vous n’avez besoin que du calcul, utilisez le calculateur pour multiplier des fractions. Ce guide explique pourquoi le résultat diminue. La règle vaut pour une quantité positive et un facteur positif inférieur à 1 ; avec d’autres facteurs ou avec des négatifs, elle change, comme le montre le tableau.
| Facteur | Exemple | Effet |
|---|---|---|
| Entre 0 et 1 | 12 × 1/4 = 3 | Réduit |
| Égal à 1 | 12 × 1 = 12 | Ne change pas |
| Supérieur à 1 | 12 × 5/4 = 15 | Augmente |
| Négatif | 12 × (−1/4) = −3 | Change le signe |
Seule la première ligne réduit la valeur absolue sans changer le signe. Les autres lignes ne réduisent pas la valeur sans changer le signe, et c’est pourquoi l’idée que « multiplier rend plus petit » est fausse.
Exemple résolu : 2/3 de 12
Un ruban mesure 12 m et vous en coupez les deux tiers. Combien de mètres cela fait-il ?
- Posez le produit. « De » signifie multiplier, donc on écrit 12 × 2/3.
- Écrivez l’entier sous forme de fraction. 12 = 12/1, donc 12/1 × 2/3.
- Multipliez les numérateurs, puis les dénominateurs. 12 × 2 = 24 et 1 × 3 = 3, donc le produit est 24/3.
- Simplifiez. 24 ÷ 3 = 8.
Le résultat est 8 m.
Vérification. Un tiers de 12 vaut 4, et deux tiers valent 4 + 4 = 8. De plus, 8 est inférieur à 12, comme le prévoit la règle.
Ce que signifie prendre une partie
Multiplier par 2/3 fait deux choses : on partage la quantité en 3 parts égales et on en garde 2. Garder 2 parts sur 3 n’atteint pas le total, donc le résultat se situe entre 0 et la quantité de départ. En symboles, si a > 0 et 0 < b < 1, alors 0 < a × b < a.
Ce n’est pas une addition. Ajouter cette fraction à 12 donne un nombre supérieur à 12. Le même symbole de fraction répond à des questions différentes : « combien en tout » dans une addition et « quelle partie de cela » dans une multiplication.
Une fraction d’une autre fraction, dans un carré
Quand la quantité est elle aussi une fraction, le produit est une partie d’une partie. Pour 3/4 × 4/5, dessinez un carré de 4 colonnes et 5 lignes : cela fait 20 cases égales. Coloriez 3 colonnes sur 4 et, dans celles-ci, 4 lignes sur 5 : 3 × 4 = 12 cases sur 20 sont coloriées.
Le produit est 12/20 = 3/5. Les numérateurs se multiplient parce qu’ils comptent les cases choisies, et les dénominateurs parce qu’ils comptent toutes les cases. Pour dessiner d’autres cas, représenter des fractions montre chaque fraction dans une figure. Le résultat, 3/5, est inférieur à 3/4 et à 4/5, comme l’exige la règle de taille.
Avec des nombres négatifs, « réduire » change de sens
Si la quantité est négative, multiplier par 1/3 rapproche le nombre de zéro au lieu de l’en éloigner : −12 × 1/3 = −4. La valeur absolue passe de 12 à 4, mais −4 est supérieur à −12 sur la droite graduée. Avec des négatifs, « diminuer » décrit la distance à zéro et non la position.
Si le facteur est négatif, le produit change en plus de signe. Déterminez d’abord le signe avec la règle des signes, que le guide sur les fractions négatives explique, puis appliquez la règle de taille aux valeurs absolues.
Estimer en arrondissant le facteur
Arrondissez le facteur à 0, à 1/2 ou à 1 pour savoir où le résultat doit se situer. Dans 7/8 × 40, le facteur est proche de 1, donc attendez-vous à un peu moins de 40. Le calcul exact donne 35. Si votre produit est loin de cette estimation, vérifiez les dénominateurs ou le signe.
Pour le même sens avec des situations réelles, comme des litres ou des personnes, voyez fraction d’une quantité. Si, au lieu de multiplier, vous divisez par une fraction inférieure à 1, le résultat augmente, et le guide pourquoi diviser par une fraction peut augmenter le résultat l’explique avec des groupes. Si un facteur est l’inverse de l’autre, le produit vaut 1, et le guide sur l’inverse d’une fraction le montre.
Entraînez-vous
Avant de calculer, prévoyez si le résultat sera plus petit ou plus grand que la quantité. Comparez ensuite votre résultat à la prévision. S’ils ne coïncident pas, revérifiez le calcul.
Exercices
- Calculez 3/4 de 20.
- Calculez 5/6 × 18.
- Calculez −8 × 3/4 et dites si le résultat est supérieur ou inférieur à −8.
- Calculez 2/5 × 5/6.
Voir les réponses
- 15 (20 ÷ 4 = 5, et 3 × 5 = 15)
- 15 (18 ÷ 6 = 3, et 5 × 3 = 15)
- −6, qui est supérieur à −8 : il se rapproche de zéro
- 1/3 (10/30 = 1/3)
Sources
La définition de la multiplication de deux fractions, numérateurs d’un côté et dénominateurs de l’autre, figure dans l’article Fraction (mathématiques) de Wikipédia en français, section « Opérations sur les fractions », sous-section « Multiplication » (consulté le 17 octobre 2026). Cette source ne traite pas de l’effet sur la taille. La règle de taille de ce guide s’appuie donc sur les exemples ci-dessus. Vous pouvez les refaire pas à pas avec d’autres quantités et vérifier chaque résultat.