Ein Bruch zwischen 0 und 1 nimmt einen Teil der Menge, und ein Teil ist weniger als das Ganze. So ergibt 2/3 von 12 genau 8, und das ist weniger als 12. Brauchst du nur die Rechnung, nimm den Rechner für Bruchmultiplikation. Dieser Ratgeber erklärt, warum das Ergebnis kleiner wird. Die Regel gilt für eine positive Menge und einen positiven Faktor kleiner als 1; bei anderen Faktoren und bei negativen Zahlen ändert sie sich, wie die Tabelle zeigt.
| Faktor | Beispiel | Wirkung |
|---|---|---|
| Zwischen 0 und 1 | 12 × 1/4 = 3 | Verkleinert |
| Gleich 1 | 12 × 1 = 12 | Ändert nichts |
| Größer als 1 | 12 × 5/4 = 15 | Vergrößert |
| Negativ | 12 × (−1/4) = −3 | Ändert das Vorzeichen |
Nur die erste Zeile verkleinert den Betrag, ohne das Vorzeichen zu ändern. Bei den anderen Zeilen geschieht das nicht, und deshalb stimmt die Vorstellung „Multiplizieren macht kleiner“ nicht allgemein.
Beispiel: 2/3 von 12
Ein Band ist 12 m lang, und du schneidest zwei Drittel ab. Wie viele Meter sind das?
- Stelle das Produkt auf. „Von“ bedeutet malnehmen, also 12 × 2/3.
- Schreibe die ganze Zahl als Bruch. 12 = 12/1, also 12/1 × 2/3.
- Multipliziere Zähler und Nenner. 12 × 2 = 24 und 1 × 3 = 3, das Produkt ist also 24/3.
- Kürze. 24 : 3 = 8.
Das Ergebnis ist 8 m.
Probe. Ein Drittel von 12 ist 4, und zwei Drittel sind 4 + 4 = 8. Außerdem ist 8 kleiner als 12, wie die Regel vorhersagt.
Was es heißt, einen Teil zu nehmen
Die Multiplikation mit 2/3 tut zwei Dinge: Sie teilt die Menge in 3 gleiche Teile und behält 2 davon. Zwei von drei Teilen ergeben nicht die ganze Menge, das Ergebnis liegt also zwischen 0 und der Ausgangsmenge. In Zeichen: Für a > 0 und 0 < b < 1 gilt 0 < a × b < a.
Das ist keine Addition. Addierst du diesen Bruch zu 12, erhältst du eine Zahl über 12. Dasselbe Bruchzeichen beantwortet verschiedene Fragen: „Wie viel ist es insgesamt?“ beim Addieren und „Welcher Teil davon?“ beim Multiplizieren.
Ein Bruchteil eines Bruchs im Quadrat
Ist die Menge selbst ein Bruch, ist das Produkt ein Teil eines Teils. Zeichne für 3/4 × 4/5 ein Quadrat mit 4 Spalten und 5 Zeilen: Das sind 20 gleiche Felder. Färbe 3 der 4 Spalten und darin 4 der 5 Zeilen, dann sind 3 × 4 = 12 von 20 Feldern gefärbt.
Das Produkt ist 12/20 = 3/5. Die Zähler werden multipliziert, weil sie die ausgewählten Felder zählen, und die Nenner, weil sie alle Felder zählen. Um andere Fälle zu zeichnen, zeigen dir die Bruchmodelle jeden Bruch als Figur. Das Ergebnis 3/5 ist kleiner als 3/4 und als 4/5, wie es die Größenregel verlangt.
Bei negativen Zahlen ändert „Verkleinern“ seine Richtung
Ist die Menge negativ, rückt die Multiplikation mit 1/3 die Zahl näher an null heran, statt sie zu entfernen: −12 × 1/3 = −4. Der Betrag sinkt von 12 auf 4, aber −4 ist auf der Zahlengeraden größer als −12. Bei negativen Zahlen beschreibt „wird kleiner“ den Abstand zu null und nicht die Lage.
Ist der Faktor negativ, ändert das Produkt zusätzlich das Vorzeichen. Bestimme zuerst das Vorzeichen mit den Vorzeichenregeln, die der Ratgeber zu negativen Brüchen erklärt, und wende dann die Größenregel auf die Beträge an.
Mit gerundetem Faktor schätzen
Runde den Faktor auf 0, 1/2 oder 1, um zu wissen, wo das Ergebnis landen muss. Bei 7/8 × 40 liegt der Faktor nahe bei 1, also erwartest du etwas weniger als 40. Die genaue Rechnung ergibt 35. Liegt dein Produkt weit von dieser Schätzung entfernt, prüfe die Nenner oder das Vorzeichen.
Dieselbe Bedeutung mit konkreten Mengen wie Litern oder Personen findest du unter Bruchteil einer Menge. Teilst du statt zu multiplizieren durch einen Bruch kleiner als 1, wird das Ergebnis größer; der Ratgeber Warum Division durch einen Bruch vergrößern kann erklärt das mit Gruppen. Ist ein Faktor der Kehrwert des anderen, ist das Produkt 1, wie der Ratgeber zum Kehrwert eines Bruchs zeigt.
Üben
Sage vor dem Rechnen voraus, ob das Ergebnis kleiner oder größer als die Menge wird. Vergleiche danach dein Ergebnis mit der Vorhersage. Stimmen beide nicht überein, prüfe die Rechnung.
Aufgaben
- Berechne 3/4 von 20.
- Berechne 5/6 × 18.
- Berechne −8 × 3/4 und sage, ob das Ergebnis größer oder kleiner als −8 ist.
- Berechne 2/5 × 5/6.
Lösungen anzeigen
- 15 (20 : 4 = 5, und 3 × 5 = 15)
- 15 (18 : 6 = 3, und 5 × 3 = 15)
- −6, das ist größer als −8: Das Ergebnis rückt näher an null
- 1/3 (10/30 = 1/3)
Quellen
Die Regel, zwei Brüche zu multiplizieren, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, steht in der deutschsprachigen Wikipedia, Artikel Bruchrechnung, Abschnitt „Multiplizieren“ (abgerufen am 17. Oktober 2026). Diese Quelle behandelt die Wirkung auf die Größe nicht. Deshalb stützt sich die Größenregel in diesem Ratgeber auf die Beispiele oben. Du kannst sie Schritt für Schritt mit anderen Mengen nachrechnen und jedes Ergebnis prüfen.