Mengalikan jumlah positif dengan pecahan positif yang kurang dari 1 mengambil sebagian dari jumlah tersebut. Karena faktor itu hanya mempertahankan sebagian, hasilnya berada di antara nol dan jumlah awal. Syarat positif penting: tanda negatif dapat mengubah arah perbandingan pada garis bilangan.
Lihat hasil kali sebagai luas yang bertumpang tindih
Bayangkan persegi panjang dibagi menjadi 3 kolom dan 4 baris yang sama besar. Tandai dua dari tiga kolom untuk 2/3, lalu tiga dari empat baris untuk 3/4. Ada 6 dari 12 petak yang berada di kedua daerah yang ditandai, sehingga luas irisan adalah 6/12 = 1/2 dari keseluruhan.
Model itu menjelaskan 3/4 × 2/3 = 1/2: penyebut 12 menghitung semua petak, sedangkan pembilang 6 menghitung petak yang dipilih oleh kedua pecahan. Karena 1/2 lebih kecil daripada 3/4 maupun 2/3, ukuran hasil cocok dengan aturan untuk dua faktor positif di bawah satu.
Ambil pecahan dari suatu jumlah
Jika papan panjangnya 3/4 meter dan yang digunakan adalah 2/3 dari panjang itu, kalikan 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 meter. Satuannya tetap meter karena faktor 2/3 tidak menambahkan besaran baru; faktor itu menentukan bagian dari ukuran awal.
Pertahankan 4 kolom dan ambil 2 dari 3 baris.
8/12 = 2/3; 12 × 2/3 = 8
Bedakan perkalian dengan penjumlahan
Mengalikan 3/4 × 2/3 menghasilkan 1/2, sedangkan menjumlahkan 3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12 = 17/12 = 1 5/12. Penjumlahan menggabungkan dua jumlah; perkalian meminta suatu bagian dari faktor lainnya. Menambahkan pembilang dan penyebut sekaligus tidak menyatakan salah satu operasi itu dengan benar.
Periksa tanda dan ukuran faktor
Aturan “hasil lebih kecil” berlaku saat jumlah dan faktor sama-sama positif serta faktornya kurang dari 1. Untuk (−3/4) × 2/3 = −1/2, nilai mutlak hasil turun dari 3/4 menjadi 1/2, tetapi −1/2 lebih besar daripada −3/4 pada garis bilangan. Ukuran dan urutan bertanda perlu dibedakan.
Jika faktor lebih dari 1, hasil kali positif dapat bertambah: 3/4 × 3/2 = 9/8 > 3/4. Jika faktornya negatif, tanda hasil berubah; 3/4 × (−2/3) = −1/2. Jika salah satu faktor nol, hasilnya nol, jadi tidak lagi berada di antara nol dan jumlah positif secara ketat.
Bagaimana memeriksa bahwa hasil kali lebih kecil?
Untuk dua nilai positif, jika a > 0 dan 0 < b < 1, maka 0 < ab < a. Periksa hasil dengan perkiraan sebelum menyederhanakan: 3/4 × 2/3 harus lebih kecil daripada 2/3 dan 3/4, dan 1/2 memenuhi kedua syarat itu.
Gunakan perkalian pecahan untuk melihat hasil eksak dan pecahan dari suatu jumlah untuk soal yang menyebut bagian dari kuantitas. Model visual pecahan menunjukkan hubungan luas, sedangkan pembagian pecahan membahas operasi kebalikan dengan pecahan. Untuk efek sebaliknya pada pembagian, baca mengapa membagi dengan pecahan dapat memperbesar hasil.
Empat Pemeriksaan untuk Perkalian dengan Pecahan
Pecahan pengali berfungsi sebagai faktor skala. Jika jumlah awal positif dan faktornya di antara 0 dan 1, hasilnya mempertahankan proporsi itu dari nilai awal dan menjadi lebih kecil. Contoh berikut membedakan kasus tersebut dari perkalian dengan 1, 0, pecahan di atas 1, atau bilangan negatif.
Maknai jumlah yang ditunjukkan oleh hasil kali
Dalam soal pengukuran, pertahankan satuan sepanjang perhitungan: 3/4 meter dikalikan 2/3 tetap dinyatakan dalam meter dan hasilnya 1/2 m. Operasi itu tidak menanyakan berapa kelompok 2/3 yang muat, melainkan berapa 2/3 dari 3/4. Menulis 3/4 = 9/12 lalu menghitung 2/3 × 9/12 = 18/36 = 1/2 mengonfirmasi nilainya, walaupun perkalian langsung biasanya lebih singkat.
Perkirakan hasil sebelum menghitung
Untuk a > 0 dan 0 < b < 1, hasil kali memenuhi 0 < a × b < a. Jika a negatif, hasilnya mendekati nol tanpa mengubah tanda. Jika b = 1, jumlah tetap; jika b = 0, hasil kali nol; jika b > 1, jumlah positif membesar. Perkiraan ini menemukan kesalahan ukuran, tetapi hasil tepat tetap perlu dihitung dan disederhanakan.
Tiga perkalian untuk diselesaikan
- 5/8 × 4/5 = 20/40 = 1/2. 2) 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1: faktor 3/2 lebih dari 1. 3) −5/6 × 3/5 = −15/30 = −1/2; nilai mutlaknya lebih kecil daripada 5/6. Untuk setiap soal, tentukan dahulu tanda dan ukuran hasil yang diharapkan.
Bedakan faktor, jumlah, dan satuannya
Dalam 3/4 × 2/3, faktor 2/3 menyatakan bagian mana dari 3/4 yang diambil. Kalikan pembilang dan penyebut: 3 × 2 / (4 × 3) = 6/12 = 1/2. Kita juga dapat menulis 3/4 = 9/12, lalu mengambil dua pertiga dari sembilan per dua belas: enam per dua belas. Kedua cara menunjukkan bagian yang sama.
Jika 3/4 menyatakan panjang dalam meter dan 2/3 adalah faktor tanpa satuan, hasilnya tetap panjang: 1/2 m. Jika kedua faktor adalah panjang, hasil kalinya dapat menyatakan luas; sebutkan satuannya agar konteks jelas. Pada diagram, tiga dari empat kolom menyatakan tiga perempat lebar, sedangkan dua dari tiga baris menyatakan dua pertiga tinggi. Irisannya meliputi enam dari dua belas kotak: 6/12 = 1/2 luas persegi panjang. Jika hanya satu dimensi yang menjadi 2/3, tersisa 8/12 = 2/3 luas; mengubah kedua dimensi memerlukan hasil kali 3/4 × 2/3.
Sederhanakan faktor tanpa mengubah nilai
Faktor di pembilang dapat disederhanakan dengan faktor di penyebut karena membagi keduanya dengan bilangan yang sama tidak mengubah nilai pecahan. Pada 5/6 × 3/5, pasangkan 5 dengan 5 sehingga menjadi 1 dan 1, lalu 3 dengan 6 sehingga menjadi 1 dan 2: hasilnya 1/2 × 1 = 1/2. Mengalikan lebih dahulu juga benar: 15/30 = 1/2; penyederhanaan di awal hanya membuat bilangan antara lebih kecil.
Untuk 4/9 × 3/8, sederhanakan 4 dengan 8 menjadi 1 dan 2, lalu 3 dengan 9 menjadi 1 dan 3. Hasilnya 1/(3 × 2) = 1/6. Penyederhanaan berlaku di antara faktor dalam perkalian. Suku dalam penjumlahan tidak dapat dicoret: 3/4 + 2/3 harus ditulis dalam per dua belas dan bernilai 17/12; angka 3 dari satu suku tidak dapat dicoret dengan angka 3 pada suku lain.
Periksa tanda dan besar nilai sebelum menyederhanakan
Untuk a > 0 dan 0 < b < 1, berlaku 0 < ab < a. Jika a negatif, hasil kali tetap negatif dan nilai mutlaknya mengecil: −3/4 × 2/3 = −1/2; karena −1/2 > −3/4, hasilnya mendekati nol. Faktor lebih dari 1 dapat memperbesar nilai positif: 3/4 × 3/2 = 9/8. Faktor nol menghasilkan nol, sedangkan faktor satu mempertahankan nilai. Perbandingan ini membantu menemukan kesalahan tanda atau ukuran, tetapi tidak menggantikan perhitungan tepat.
Periksa contoh utama dengan membagi 1/2 dengan 2/3: 1/2 × 3/2 = 3/4. Pemeriksaan ini berlaku karena 2/3 bukan nol.
Kesalahan umum dan latihan berjawab
Jika 3/4 × 2/3 = 6/7, penyebutnya dijumlahkan; hasil yang benar adalah 6/12 = 1/2. Hasil 17/12 berarti nilai-nilainya dijumlahkan alih-alih mengambil suatu bagian. Kerjakan: 2/5 × 5/6 = 10/30 = 1/3; −4/7 × 7/8 = −28/56 = −1/2; 6/5 × 5/3 = 30/15 = 2, lebih besar dari 6/5 karena faktor kedua lebih dari 1. Sebelum menghitung, perkirakan tandanya dan apakah nilai mutlak bertambah atau berkurang.
Apakah perkalian dengan pecahan selalu membuat hasil lebih kecil?
Tidak. Untuk nilai positif, faktor antara 0 dan 1 mengecilkan besar nilainya, faktor 1 mempertahankan nilai, dan faktor di atas 1 dapat memperbesarnya. Untuk bilangan negatif, bedakan nilai mutlak dari letak pada garis bilangan: hasil dapat mendekati nol sekaligus lebih besar sebagai bilangan bertanda.
Ikuti setiap dimensi pada model luas
Pada persegi panjang yang terdiri dari dua belas kotak, pilih tiga dari empat kolom untuk menunjukkan 3/4 lebar. Lalu pilih dua dari tiga baris untuk menunjukkan 2/3 tinggi. Hanya enam kotak memenuhi kedua kondisi. Karena semua kotak memiliki luas yang sama, irisannya bernilai 6/12 = 1/2. Inilah alasan visual untuk mengalikan pecahan yang mengubah dimensi secara terpisah: (3 × 2)/(4 × 3) = 6/12. Penjumlahan 3/4 + 2/3 tidak menggambarkan irisan, jadi menjawab pertanyaan yang berbeda.
Periksa hasil kali dengan kedua faktornya: pada 3/4 × 2/3, jawaban 1/2 berada di antara nol dan masing-masing faktor positif. Contoh lain, 3/5 × 1/2 = 3/10; hasilnya lebih kecil daripada 3/5 karena merupakan setengahnya. Untuk 3/2 × 2/3, hasil kalinya 1: faktor di bawah 1 mengecilkan 3/2, tetapi tidak memastikan hasilnya juga di bawah 1.