Moltiplicare un valore positivo per una frazione positiva minore di 1 significa prenderne una parte. Se a > 0 e 0 < b < 1, allora 0 < a × b < a: il prodotto è positivo e più piccolo del valore iniziale.
Interpreta la frazione come una scala
Se prendi 2/3 di una lunghezza di 3/4 di metro, calcoli 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 metro. Il fattore 2/3 riduce la lunghezza iniziale; non aggiunge due terzi di metro.
Lo stesso modello vale per un’area quando si mantengono uguali le altre dimensioni. Se un rettangolo di 12 quadretti viene ridotto a 2/3 della sua altezza, l’area diventa 2/3 × 12 = 8 quadretti. Due terzi di dodici sono otto, non due più tre.
Restano tutte le 4 colonne e 2 delle 3 righe.
8/12 = 2/3; 12 × 2/3 = 8
Distingui il prodotto dalla somma
3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12 = 17/12 = 1 5/12, mentre 3/4 × 2/3 = 1/2. La somma unisce quantità; il prodotto con un fattore tra 0 e 1 seleziona una parte del valore positivo.
La stima aiuta a controllare il risultato: 1/2 è positivo e minore sia di 3/4 sia di 2/3, come richiede questo prodotto. Un risultato maggiore di uno dei due fattori indicherebbe un errore di calcolo o una condizione diversa.
Controlla segni e fattori maggiori di uno
Con un valore negativo, il valore assoluto si riduce ma il numero si avvicina a zero: (−3/4) × 2/3 = −1/2. Sulla retta numerica −1/2 è maggiore di −3/4, anche se la sua grandezza assoluta è minore.
Se il fattore supera 1, il prodotto positivo può invece aumentare: 3/4 × 3/2 = 9/8, che è maggiore di 3/4. Con fattore zero il prodotto vale zero. La regola “una frazione rende sempre più piccolo” vale quindi solo con le condizioni indicate.
Per esercitare la regola del prodotto, usa moltiplicare frazioni. Per trovare una parte di una quantità intera, consulta calcolare una frazione di una quantità; i modelli visivi delle frazioni mostrano parti e interi. Per l’effetto opposto nella divisione, leggi perché dividere per una frazione può aumentare il risultato.
Quattro verifiche per moltiplicare per una frazione
La frazione moltiplicatrice agisce come un fattore di scala. Con una quantità positiva e un fattore compreso tra 0 e 1, si conserva quella proporzione della quantità iniziale e si ottiene un valore minore. Questi esempi distinguono il caso dalla moltiplicazione per 1, per 0, per una frazione maggiore di 1 o per un numero negativo.
Interpretare la quantità rappresentata dal prodotto
In un problema di misura, mantieni l’unità per tutto il calcolo: 3/4 di metro moltiplicato per 2/3 resta espresso in metri e vale 1/2 m. L’operazione non chiede quanti gruppi da 2/3 ci sono, ma quanto vale 2/3 di 3/4. Riscrivere 3/4 come 9/12 e calcolare 2/3 × 9/12 = 18/36 = 1/2 conferma il valore, anche se la moltiplicazione diretta richiede di solito meno passaggi.
Prevedere il risultato prima di calcolare
Per a > 0 e 0 < b < 1, il prodotto soddisfa 0 < a × b < a. Se a è negativo, il prodotto si avvicina a zero senza cambiare segno. Se b = 1, la quantità resta invariata; se b = 0, il prodotto è zero; se b > 1, una quantità positiva aumenta. La previsione individua errori di grandezza, ma poi occorre calcolare il prodotto esatto e ridurlo.
Tre prodotti da risolvere
- 5/8 × 4/5 = 20/40 = 1/2. 2) 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1: il fattore 3/2 supera 1. 3) −5/6 × 3/5 = −15/30 = −1/2; il valore assoluto è minore di 5/6. In ogni esercizio, individua prima il segno e la grandezza attesi.
Distingui fattore, quantità e unità
In 3/4 × 2/3, il fattore 2/3 indica quale parte di 3/4 mantenere. Moltiplica numeratori e denominatori: 3 × 2 / (4 × 3) = 6/12 = 1/2. Puoi anche riscrivere 3/4 come 9/12 e prendere due terzi di nove dodicesimi: sei dodicesimi. I due procedimenti descrivono la stessa parte.
Se 3/4 rappresenta metri e 2/3 è un fattore senza unità, il prodotto misura ancora una lunghezza: 1/2 m. Se entrambi i fattori sono lunghezze, il prodotto può rappresentare un’area; indica le unità per rendere chiaro il contesto. Nel diagramma, tre delle quattro colonne rappresentano tre quarti della larghezza e due righe su tre rappresentano due terzi dell’altezza. La sovrapposizione copre sei caselle su dodici: 6/12 = 1/2 del rettangolo. Ridurre una sola dimensione a 2/3 lascerebbe 8/12 = 2/3 dell’area; ridurle entrambe richiede il prodotto 3/4 × 2/3.
Semplifica i fattori senza cambiare il valore
Puoi semplificare un fattore del numeratore con uno del denominatore perché dividerli entrambi per lo stesso numero conserva la frazione. In 5/6 × 3/5, associa 5 a 5, che diventano 1 e 1, poi 3 a 6, che diventano 1 e 2: resta 1/2 × 1 = 1/2. Anche il calcolo diretto funziona: 15/30 = 1/2; semplificare prima riduce solo i numeri intermedi.
In 4/9 × 3/8, semplifica 4 con 8 ottenendo 1 e 2, e 3 con 9 ottenendo 1 e 3. Il prodotto è 1/(3 × 2) = 1/6. La semplificazione vale tra fattori di un prodotto. Non si cancellano termini di una somma: 3/4 + 2/3 si scrive in dodicesimi e vale 17/12; il 3 di un addendo non si elimina con quello dell’altro.
Controlla segno e grandezza prima di semplificare
Per a > 0 e 0 < b < 1, 0 < ab < a. Se a è negativo, il prodotto resta negativo e il valore assoluto diminuisce: −3/4 × 2/3 = −1/2; poiché −1/2 > −3/4, si avvicina a zero. Un fattore maggiore di 1 può aumentare una quantità positiva: 3/4 × 3/2 = 9/8. Il fattore zero dà zero e il fattore uno lascia invariato il valore. Questi confronti aiutano a individuare errori di segno o di grandezza, ma non sostituiscono il calcolo esatto.
Verifica l’esempio principale dividendo 1/2 per 2/3: 1/2 × 3/2 = 3/4. La verifica è valida perché 2/3 è diverso da zero.
Errori comuni ed esercizi svolti
Se 3/4 × 2/3 = 6/7, sono stati sommati i denominatori; il prodotto corretto è 6/12 = 1/2. Il risultato 17/12 indica che si sono sommate le quantità invece di prenderne una parte. Calcola: 2/5 × 5/6 = 10/30 = 1/3; −4/7 × 7/8 = −28/56 = −1/2; 6/5 × 5/3 = 30/15 = 2, maggiore di 6/5 perché il secondo fattore supera 1. Prima di calcolare, prevedi il segno e se il valore assoluto crescerà o diminuirà.
Moltiplicare per una frazione rende sempre il risultato più piccolo?
No. Per una quantità positiva, un fattore tra 0 e 1 la riduce, il fattore 1 la conserva e un fattore sopra 1 può aumentarla. Con numeri negativi, distingui il valore assoluto dalla posizione sulla retta: un prodotto può avvicinarsi a zero ed essere maggiore come numero con segno.
Segui ogni dimensione nel modello di area
Nel rettangolo di dodici caselle, seleziona prima tre delle quattro colonne per rappresentare 3/4 della larghezza. Poi seleziona due delle tre righe per rappresentare 2/3 dell’altezza. Solo sei caselle soddisfano entrambe le condizioni. Poiché le dodici caselle hanno la stessa area, la sovrapposizione vale 6/12 = 1/2. Questo mostra visivamente perché si moltiplicano le frazioni che riducono dimensioni indipendenti: (3 × 2)/(4 × 3) = 6/12. La somma 3/4 + 2/3 non descrive una sovrapposizione e risponde a un’altra domanda.
Un controllo utile è confrontare il prodotto con entrambi i fattori: in 3/4 × 2/3, il risultato 1/2 è compreso tra zero e ciascun fattore positivo. In un altro esempio, 3/5 × 1/2 = 3/10, minore di 3/5 perché ne è la metà. Per 3/2 × 2/3 il prodotto è 1: un fattore minore di 1 riduce 3/2, ma non obbliga il risultato a essere minore di 1.