Il reciproco di una frazione si ottiene scambiando di posto numeratore e denominatore, e quello di 5/8 è 8/5. Si chiama anche inverso moltiplicativo, ed è il numero che, moltiplicato per la frazione, dà 1. Con il reciproco la divisione diventa una moltiplicazione, come nella divisione di frazioni, di cui trovi l’intuizione in perché dividere per una frazione può aumentare il risultato.
L’unico numero senza reciproco è lo 0.
| Hai | Fai così | Reciproco |
|---|---|---|
| Una frazione, 3/4 | Scambia numeratore e denominatore | 4/3 |
| Un intero, 5 | Scrivilo come 5/1 e scambia | 1/5 |
| Un numero misto, 3 1/7 | Trasformalo in frazione impropria e scambia | 7/22 |
| Una frazione negativa, −4/9 | Scambia i termini e conserva il segno | −9/4 |
| Lo zero | Non c'è niente da fare | Non esiste |
La tabella copre tutti i casi della guida. Cambia solo la preparazione, mentre lo scambio dei termini è sempre lo stesso.
Una frazione maggiore di 1 si inverte allo stesso modo. Il reciproco di 9/4 è 4/9, che è minore di 1. In generale, il reciproco di una frazione positiva minore di 1 è maggiore di 1, e viceversa.
Esempio svolto: il reciproco di 3 1/7
Vuoi invertire un numero misto, formato da un intero e una frazione.
- Passa alla frazione impropria. 3 × 7 + 1 = 22, quindi 3 1/7 = 22/7.
- Scambia numeratore e denominatore. Il 22 va sotto e il 7 va sopra.
- Scrivi il risultato. 7/22.
Il reciproco è 7/22.
Verifica: 22/7 × 7/22 = 154/154 = 1.
Il primo passaggio lo svolge lo strumento da numero misto a frazione. L’ordine è questo perché un numero misto è la somma di un intero e di una frazione, non un unico quoziente.
Interi e negativi: il segno non cambia
Ogni intero è una frazione con denominatore 1, quindi il reciproco di n è 1/n. Per questo dividere per 5 equivale a moltiplicare per 1/5. Nei numeri negativi il segno resta dov’è. Il reciproco di −4/9 è −9/4, perché il prodotto di due numeri negativi è positivo e (−4/9) × (−9/4) = 36/36 = 1. Se cambiassi il segno, il prodotto verrebbe −1.
Reciproco e opposto
I due inversi rispondono a domande diverse. L’opposto, o inverso additivo, è il numero che sommi per arrivare a 0 e si ottiene cambiando il segno. L’inverso moltiplicativo è il numero per cui moltiplichi per arrivare a 1 e si ottiene scambiando di posto i termini.
| Numero | Opposto (somma 0) | Reciproco (prodotto 1) |
|---|---|---|
| −4/9 | 4/9 | −9/4 |
| 5 | −5 | 1/5 |
| 0 | 0 | non esiste |
Lo zero è l’opposto di se stesso, ma non ha reciproco, perché 0 × x vale 0 per qualsiasi x e mai 1. Per lo stesso motivo 5/0 non è un numero, come spiega perché il denominatore non può essere zero.
I due numeri che sono il proprio reciproco
Un numero x coincide con il proprio reciproco quando x = 1/x. Questa uguaglianza richiede x ≠ 0. Poi, moltiplicando per x, resta x² = 1, che ha due soluzioni, 1 e −1. Ogni altro numero si allontana dal proprio reciproco. Quello di 2 è 1/2, e quello di 1/2 è 2. Più una frazione positiva è piccola, più è grande il suo reciproco.
A cosa serve: dividere
Dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco. Per 2/7 ÷ 3/4 si inverte solo il divisore. Quindi 2/7 × 4/3 = 8/21. Si controlla al contrario, perché 8/21 × 3/4 = 24/84 = 2/7, il dividendo di partenza. Se invertissi anche la prima frazione, il risultato sarebbe un altro numero, quindi il dividendo resta com’è.
Lo stesso trucco compare quando si ricava un’incognita che ha una frazione come coefficiente e quando si calcolano potenze con esponente negativo. Entrambi i casi hanno la propria guida e la propria calcolatrice: equazioni con frazioni e potenze di frazioni.
Esercitati
Trova il reciproco
- 7/10
- −6
- 3 1/4
Vedi le risposte
- 10/7, perché 7/10 × 10/7 = 1.
- −1/6, perché (−6) × (−1/6) = 1.
- 4/13, perché 3 1/4 = 13/4 e 13/4 × 4/13 = 1.
Fonti
- Wikipedia in italiano, voce Reciproco: definisce il reciproco di un numero come quello che, moltiplicato per il numero, dà come risultato 1 (consultata il 17 ottobre 2026).