Una potenza di una frazione con esponente intero si calcola elevando numeratore e denominatore. Se l’esponente è negativo, prima si prende il reciproco della base; con esponente 0, ogni base diversa da zero dà 1. Il risultato resta esatto e viene ridotto: per esempio, (-2/3)^(-2) = (-3/2)^2 = 9/4.
Come usare la calcolatrice delle potenze di frazioni
- Scrivi la base. Il campo «Base razionale» accetta un intero, una frazione, un decimale finito o periodico e un numero misto, come
-2/3,0,5o1 1/2. - Scrivi l’esponente. Il campo «Esponente intero» riceve un intero da
-100a100, per esempio-2. - Premi «Calcola». Per la base
-2/3e l’esponente-2compare «Risultato esatto: 9/4», come frazione ridotta ai minimi termini. - Correggi se compare un messaggio. «La potenza 0^0 non è definita.» segnala la base zero con esponente 0; «Inserisci un esponente intero entro i limiti indicati.» segnala un esponente decimale o fuori intervallo.
Il segno scritto nel campo della base vale per tutta la base: non servono parentesi. Ogni modifica di un campo cancella il risultato precedente fino al calcolo successivo.
Come si eleva una frazione a potenza?
Si elevano separatamente numeratore e denominatore alla stessa potenza. Per una base a/b con b≠0 e un esponente positivo n, vale (a/b)^n=a^n/b^n. Per esempio, (3/4)^3=27/64. Qualsiasi base diversa da zero elevata a zero vale 1: (3/4)^0=1 e (-3)^0=1.
Il calcolo usa aritmetica intera esatta: nessun arrotondamento, nemmeno per (1/2)^20 = 1/1048576. Poiché la base viene prima ridotta, il risultato è già ai minimi termini: (2/4)^2 dà 1/4. Ogni componente numerica della base ha al massimo 100 cifre; numeratore e denominatore del risultato hanno ciascuno al massimo 10.000 cifre, e un valore che supera il limite viene rifiutato.
Che cosa indica un esponente negativo?
Per una base diversa da zero, (a/b)^(-n)=(b/a)^n: si inverte la frazione e poi si applica l’esponente positivo. Quindi (2/3)^(-3)=(3/2)^3=27/8. Il segno meno dell’esponente indica il reciproco, non un risultato necessariamente negativo.
(2/3)^0 = 1; (2/3)^(−1) = 3/2; (2/3)^(−2) = 9/4; (2/3)^(−3) = (3/2)^3 = 27/8
Con una base negativa, il segno dipende dalla parità dell’esponente. Per esempio, (-2/3)^(-2)=(-3/2)^2=9/4, mentre (-2/3)^(-3)=(-3/2)^3=-27/8. Un esponente uguale a -1 dà semplicemente il reciproco: (5/7)^(-1) = 7/5, lo stesso reciproco che si usa nella divisione di frazioni.
Tabella delle potenze di frazioni più comuni
| Base | Al quadrato | Al cubo | Esponente −1 | Esponente −2 |
|---|---|---|---|---|
| 1/2 | 1/4 | 1/8 | 2 | 4 |
| 2/3 | 4/9 | 8/27 | 3/2 | 9/4 |
| 3/4 | 9/16 | 27/64 | 4/3 | 16/9 |
| 3/2 | 9/4 | 27/8 | 2/3 | 4/9 |
| −1/2 | 1/4 | −1/8 | −2 | 4 |
| 1/10 | 1/100 | 1/1000 | 10 | 100 |
Le righe di 2/3 e 3/2 mostrano il legame tra esponenti opposti: il quadrato dell’una è la potenza −2 dell’altra. La riga di −1/2 mostra l’effetto della parità sul segno.
Esempi svolti
Probabilità ripetuta. La probabilità di ottenere testa cinque volte di fila con una moneta equilibrata è (1/2)^5 = 1/32. Ogni lancio aggiunge un fattore 1/2, che dimezza la probabilità.
Area di una copia ridotta. Un’immagine ridotta ai 3/4 della larghezza e dell’altezza occupa (3/4)^2 = 9/16 dell’area originale. La superficie diminuisce più di ciascun lato, perché il fattore si applica due volte.
Decimale ed esponente negativo. Con base 0,5 ed esponente -3, la calcolatrice usa 0,5 = 1/2 e ottiene (1/2)^(-3) = 2^3 = 8. Una base tra 0 e 1 elevata a un esponente negativo dà un numero maggiore di 1.
Base negativa al cubo. (-2/3)^3 = (-2)^3/3^3 = -8/27. L’esponente dispari conserva il segno meno; con esponente 2 lo stesso calcolo dà 4/9.
Esponente zero e base zero
Qualsiasi base diversa da zero elevata a zero vale 1. Una base zero con esponente positivo resta zero, per esempio 0^3=0.
0^0 è indefinito secondo la convenzione esplicita del calcolatore, che quindi non restituisce 1. Anche una potenza negativa di zero è indefinita, perché richiederebbe il reciproco di zero: 0^(-1) non ha valore.
Il segno della base nel campo separato è parte del numero: inserendo -2 come base e 2 come esponente si ottiene 4. In una espressione con più operazioni, invece, -2^2 significa -(2^2)=-4; per ottenere 4 occorre scrivere (-2)^2.
Quando usarla e quando no?
Usa la calcolatrice quando l’esponente è un intero: per controllare un esercizio, il segno di una base negativa o il reciproco di una potenza. Non è adatta in questi casi:
- Esponente frazionario come
1/2: corrisponde a una radice; usa le radici di frazioni, che indicano anche quando la radice non è una frazione. - Potenza dentro un’espressione più lunga: la calcolatrice delle espressioni con frazioni accetta
^insieme alle altre operazioni e alle parentesi. - Potenze molto grandi: l’esponente è limitato a 100 in valore assoluto e il risultato a 10.000 cifre per termine; un input fuori limite viene rifiutato anche se la potenza esiste.
OpenStax (in inglese) presenta gli esponenti interi negativi e il reciproco (in inglese).
Domande frequenti
Come si usa la calcolatrice delle potenze di frazioni?
Scrivi la base in «Base razionale», l’esponente in «Esponente intero» e premi Calcola. Con base -2/3 ed esponente -2 compare la riga «Risultato esatto: 9/4». La base accetta frazioni, interi, decimali e numeri misti; l’esponente, qualsiasi intero da −100 a 100.
Devo mettere tra parentesi una base negativa?
No, non in questa calcolatrice: la base ha un campo tutto suo, quindi -2/3 indica l’intera frazione negativa. Con esponente 2 il risultato è 4/9. Le parentesi servono solo quando scrivi tutto su una riga, dove -2^2 vale −4 mentre (−2)^2 vale 4.
Si può elevare a potenza un numero decimale o un numero misto?
Sì. Il decimale viene trasformato in frazione esatta prima del calcolo: 0,5 al cubo dà 1/8. Un numero misto si scrive con uno spazio, come 1 1/2, e vale 3/2: al quadrato dà 9/4, cioè 2 1/4. Sono accettati anche i decimali periodici come 0,(3), che vale 1/3.
Quali esponenti accetta la calcolatrice delle potenze?
Solo interi da −100 a 100, con al massimo tre cifre e un segno facoltativo. Un esponente decimale come 0,5 o frazionario come 1/2 viene rifiutato, perché corrisponde a una radice il cui risultato non è sempre una frazione. Per questi casi usa le radici di frazioni.
Come si eleva al quadrato una frazione?
Si elevano al quadrato numeratore e denominatore: (3/4)^2 = 3²/4² = 9/16. L’errore frequente è moltiplicare per 2, che darebbe 6/8. Elevare al quadrato significa moltiplicare la frazione per sé stessa: 3/4 × 3/4 = 9/16.
Come si calcola una frazione elevata a un esponente negativo?
Si prende il reciproco della base e lo si eleva all’esponente positivo: (a/b)^−n = (b/a)^n. Per esempio, (2/5)^−2 = (5/2)^2 = 25/4. La guida sugli esponenti negativi e frazionari spiega perché un esponente negativo equivale a prendere il reciproco.
Perché una frazione elevata alla zero vale 1?
Perché dividendo una potenza per sé stessa si sottraggono gli esponenti: (2/3)^3 ÷ (2/3)^3 = (2/3)^0, e un numero diverso da zero diviso per sé stesso vale 1. La regola richiede una base diversa da zero; per questo la calcolatrice lascia 0^0 non definito.
Come si moltiplicano due potenze della stessa frazione?
Si mantiene la base e si sommano gli esponenti: (2/3)^2 × (2/3)^3 = (2/3)^5 = 32/243. La regola vale anche con esponenti di segno diverso: (2/3)^4 × (2/3)^−1 = (2/3)^3 = 8/27. Per verificare, calcola ogni potenza separatamente e poi moltiplica.
Un esponente negativo rende negativo il risultato?
No: un esponente negativo indica il reciproco, non l’opposto. Il segno dipende dalla base e dalla parità dell’esponente: (2/3)^−3 = 27/8, positivo, mentre (−2/3)^−3 = −27/8 è negativo perché la base è negativa e l’esponente è dispari.
Perché la calcolatrice delle potenze non accetta 0^0?
Perché 0^0 non ha un valore unico: la regola dell’esponente zero richiede una base diversa da zero. La calcolatrice mostra «La potenza 0^0 non è definita.» invece di restituire 1. Rifiuta anche lo zero con esponente negativo, come 0^−1, che richiederebbe il reciproco di zero. Invece 0^3 = 0.
Perché una potenza molto grande può dare errore?
Perché l’esponente è limitato a 100 in valore assoluto e numeratore o denominatore del risultato non possono superare 10.000 cifre. Oltre questi limiti l’input viene rifiutato, il che non significa che la potenza non esista. (1/2)^100, per esempio, si calcola: è 1 fratto 2^100.
Perché il risultato della potenza è una frazione e non un decimale?
Perché la calcolatrice dà il valore esatto, e molte potenze non hanno uno sviluppo decimale finito: (2/3)^2 = 4/9 = 0,(4), un decimale periodico. Per ottenere la forma decimale, copia il risultato nella conversione da frazione a decimale, che indica se è finito o periodico.
Che cosa succede a una frazione minore di 1 elevata a potenza?
Con un esponente positivo diminuisce: (1/2)^2 = 1/4 e (1/2)^3 = 1/8. Con un esponente negativo succede il contrario: (1/2)^−3 = 8. Le frazioni maggiori di 1 si comportano all’opposto: (3/2)^2 = 9/4 è maggiore di 3/2.
(−2/3)^2 e −(2/3)^2 danno lo stesso risultato?
No. In (−2/3)^2 si eleva la frazione negativa e il risultato è 4/9. In −(2/3)^2 si eleva 2/3 e poi si cambia il segno: −4/9. In questa calcolatrice un segno scritto nel campo della base corrisponde sempre al primo caso.
Come si calcola una potenza dentro un’espressione più lunga?
Usa la calcolatrice delle espressioni con frazioni, che accetta l’operatore ^ insieme a somme, prodotti e parentesi. Per esempio, 1/2 + (1/2)^2 = 1/2 + 1/4 = 3/4. Lì le potenze si calcolano prima dei prodotti e delle somme.
Come si calcola la potenza di un numero intero negativo?
Scrivi l’intero con il suo segno in «Base razionale», poi l’esponente. (−3)^2 = 9, (−3)^3 = −27 e (−3)^−2 = 1/9: l’esponente negativo dà il reciproco e l’esponente pari rende positivo il risultato. Un intero viene trattato come una frazione con denominatore 1.