La radice di una frazione è razionale quando, dopo la riduzione, il numeratore in valore assoluto e il denominatore sono potenze perfette dell’indice richiesto, con un segno compatibile con una radice reale. La calcolatrice restituisce quella frazione esatta; se la radice è irrazionale, mantiene l’espressione con il radicale e mostra a parte un’approssimazione decimale.
Come usare la calcolatrice delle radici di frazioni
- Scrivi il radicando in «Radicando razionale»: un intero, una frazione, un decimale finito o periodico (
0,1(6)) o un numero misto, come9/16,0,25o2 1/4. Le parti numeriche accettano fino a 100 cifre. - Scegli l’indice in «Indice della radice»: un intero da 2 a 16. L’indice 2 dà la radice quadrata principale, l’indice 3 la radice cubica.
- Imposta la precisione in «Cifre decimali dell’approssimazione»: da 0 a 50, con 12 come valore iniziale. Serve solo se la radice non è razionale.
- Premi «Calcola». Una radice razionale compare in una riga, «Radice esatta: 3/4». Altrimenti compaiono tre righe: «Espressione esatta: √(2/3)», «Approssimazione: ≈ 0,816496580927» e «12 cifre decimali visualizzate, troncate verso zero.».
Con indice 2 e radicando 9/16, la radice quadrata principale è 3/4, perché (3/4)^2=9/16. Con radicando -8/27 e indice 3, la radice cubica è -2/3, perché (-2/3)^3=-8/27. Le potenze di frazioni permettono di controllare questi risultati nel verso opposto.
(3/4)² = 9/16, quindi √(9/16) = √9/√16 = 3/4
Quando la radice di una frazione è esatta?
La radice di una frazione ridotta a/b è razionale se |a| e b sono entrambi potenze n-esime perfette; se a è negativo, l’indice n deve essere anche dispari. Così √(9/16) = 3/4, mentre la radice quadrata di 2/3 è irrazionale: né 2 né 3, nella frazione ridotta, sono quadrati perfetti. La calcolatrice riduce prima il radicando, verifica queste condizioni con interi esatti e poi estrae la radice di numeratore e denominatore.
√(9/16) = 3/4 e √(4/9) = 2/3 sono esatte; √(2/3) = √6/3 ≈ 0,8164… è un’approssimazione
Come si calcola il valore approssimato?
Il valore approssimato è troncato verso zero, non arrotondato. Per √(2/3) la calcolatrice mantiene l’espressione esatta √(2/3); con quattro cifre decimali mostra a parte ≈ 0,8164, mentre il valore reale, 0,81649…, è leggermente maggiore. Le cifre si ottengono con una radice intera esatta, senza calcoli in virgola mobile: ogni cifra mostrata è quindi una cifra corretta del valore vero. Una scrittura equivalente è √6/3, che arrotondata a quattro cifre vale 0,8165.
Il simbolo ≈ distingue l’approssimazione dall’uguaglianza esatta. Una radice razionale esatta, come √(4/9) = 2/3, resta visualizzata come frazione anche se il suo sviluppo decimale è periodico: aumentare la precisione mostra più cifre, ma non trasforma mai un’irrazionale in una frazione.
Tabella delle radici di frazioni più comuni
| Radicando | Indice | Radice | Esatta? |
|---|---|---|---|
| 1/4 | 2 | 1/2 | Sì |
| 4/9 | 2 | 2/3 | Sì |
| 9/16 | 2 | 3/4 | Sì |
| 25/36 | 2 | 5/6 | Sì |
| 8/27 | 3 | 2/3 | Sì |
| −8/27 | 3 | −2/3 | Sì |
| 27/64 | 3 | 3/4 | Sì |
| 1/2 | 2 | ≈ 0,707106781186 | No |
| 2/3 | 2 | ≈ 0,816496580927 | No |
Le approssimazioni della tabella sono troncate a 12 cifre decimali, come le mostra la calcolatrice con la precisione iniziale.
Esempi svolti
Lato di un quadrato. Una piastrella quadrata di 49/64 m² ha lato √(49/64) = 7/8 m, perché 7² = 49 e 8² = 64. Il lato misura 87,5 cm.
Spigolo di un cubo. Un cubo di 27/125 m³ ha spigolo ∛(27/125) = 3/5 m, con indice 3. Lo spigolo misura 60 cm.
Decimale esatto. Il radicando 0,0625 vale 625/10000 = 1/16, quindi la sua radice quadrata è 1/4. Un decimale finito può avere una radice esatta anche se non si vede a prima vista.
Radice irrazionale. Per 1/2 con indice 2, la calcolatrice mostra √(1/2) e ≈ 0,707106781186, troncato a 12 cifre. È il rapporto tra il lato di un quadrato e la sua diagonale, e nessuna frazione gli è esattamente uguale.
Dominio reale e scelta della radice
Una radice di indice pari di un numero negativo non ha valore reale e viene rifiutata, come ogni indice fuori dall’intervallo da 2 a 16; l’indice 1 non è accettato. Gli indici dispari ammettono radicandi negativi e restituiscono una radice negativa, come ∛(-8/27) = -2/3. La calcolatrice lavora nei numeri reali e non produce risultati complessi.
Per una radice quadrata si sceglie il valore principale non negativo. Sia 3/4 sia -3/4 hanno quadrato 9/16, ma √(9/16) indica 3/4. Una precisione di 0 cifre dà solo la parte intera troncata, per esempio ≈ 0 per √(2/3): non è un valore esatto.
Quando usarla e quando no?
Usala per le radici reali di numeri razionali: per verificare se una radice è esatta, trovare il lato di un quadrato o lo spigolo di un cubo, oppure ottenere cifre sicure di una radice irrazionale. Scegli un altro strumento in questi casi:
- Frazione semplice vicina a una radice irrazionale: approssimare un decimale con una frazione imponendo un denominatore massimo; il risultato è un’approssimazione, non la radice esatta.
- Radice dentro un’espressione più lunga: la calcolatrice di espressioni non ha un operatore di radice; calcola la radice qui e riportala se è razionale.
- Sviluppo decimale di una radice razionale: da frazione a decimale dà lo sviluppo esatto, finito o periodico.
OpenStax (in inglese) spiega le radici quadrate e i quadrati perfetti (in inglese).
Domande frequenti
Come si usa la calcolatrice delle radici di frazioni?
Scrivi il radicando, l’indice della radice e le cifre decimali dell’approssimazione, poi premi Calcola. Con 9/16 e indice 2 compare la riga «Radice esatta: 3/4». Con 2/3 ottieni l’espressione esatta √(2/3) e un’approssimazione troncata, con 12 cifre decimali come impostazione iniziale.
Come si calcola la radice cubica di una frazione?
Scrivi 3 in «Indice della radice». La radice cubica si applica a numeratore e denominatore: ∛(8/27) = ∛8/∛27 = 2/3, perché 2³ = 8 e 3³ = 27. A differenza della radice quadrata, accetta anche un radicando negativo: ∛(−8/27) = −2/3.
A che cosa serve il campo «Cifre decimali dell’approssimazione»?
Stabilisce quante cifre decimali, da 0 a 50, vengono mostrate quando la radice non è razionale. Con 4, √(2/3) appare come ≈ 0,8164; con 12, come ≈ 0,816496580927. Se la radice è esatta, come √(4/9) = 2/3, il campo non viene usato.
Si può estrarre la radice di un decimale o di un numero misto?
Sì. La calcolatrice trasforma prima il valore in una frazione esatta: 0,25 = 1/4, quindi la sua radice quadrata vale 1/2. Un numero misto si scrive con uno spazio: 2 1/4 vale 9/4 e la sua radice quadrata è 3/2. Sono accettati anche i decimali periodici, come 0,(4) = 4/9.
Come si calcola la radice quadrata di una frazione?
Si riduce la frazione e poi si estrae separatamente la radice del numeratore e quella del denominatore: √(25/36) = √25/√36 = 5/6. Se uno dei due non è un quadrato perfetto, la radice non è una frazione: si può scrivere solo come espressione esatta o come valore approssimato.
Perché bisogna ridurre la frazione prima di estrarre la radice?
Perché una frazione non ridotta può nascondere una radice esatta. Né 8 né 18 sono quadrati perfetti, ma 8/18 si riduce a 4/9 e √(4/9) = 2/3. La calcolatrice riduce automaticamente il radicando prima di verificare se la radice è razionale.
Come capire se la radice di una frazione è esatta?
Controlla se numeratore e denominatore ridotti sono potenze perfette dell’indice. 27/64 ha una radice cubica esatta, 3/4, perché 27 = 3³ e 64 = 4³; la sua radice quadrata invece non è razionale, perché 27 non è un quadrato perfetto.
Che cosa significa razionalizzare il denominatore di una radice?
Significa riscrivere la radice in modo che non resti un radicale al denominatore: √(1/3) = 1/√3 = √3/3. Il valore non cambia, cambia solo la scrittura. La calcolatrice mostra la radice così come è richiesta, √(1/3). La guida per razionalizzare il denominatore spiega il metodo.
Perché √(4/9) compare come frazione e non come decimale?
Perché √4/√9 = 2/3 è un risultato razionale esatto. Il suo sviluppo decimale è periodico, 0,(6), ma la radice è già risolta senza approssimazioni. La precisione scelta serve solo per le radici irrazionali e non sostituisce mai una frazione esatta.
Perché l’approssimazione della radice è troncata e non arrotondata?
Perché ogni cifra mostrata sia una cifra del valore vero: troncare non aumenta mai l’ultima cifra. √(2/3) = 0,81649…; con 4 cifre la calcolatrice mostra ≈ 0,8164, mentre un arrotondamento darebbe 0,8165. Per questo indica che le cifre decimali sono troncate verso zero.
Perché non si può calcolare la radice quadrata di una frazione negativa?
Perché nessun numero reale elevato a una potenza pari dà un risultato negativo. La calcolatrice lavora solo nei numeri reali: √(−1/4) viene rifiutata invece di dare un numero complesso. Con un indice dispari un risultato esiste: ∛(−1/8) = −1/2.
Come si legge una radice quinta nel risultato?
Il simbolo √ è seguito dall’indice tra parentesi quadre e poi dal radicando tra parentesi tonde: per la radice quinta di 1/2 compare √, poi l’indice 5 tra quadre, poi (1/2), tutto attaccato. Per la radice quadrata l’indice non si scrive, come in √(2/3). Questa espressione è il valore esatto; il numero preceduto da ≈ ne è solo un’approssimazione.
Come trasformo il valore approssimato di una radice in una frazione semplice?
Usa approssimare un decimale a frazione con un denominatore massimo. Otterrai una frazione vicina alla radice, non la radice esatta: una radice irrazionale non è uguale a nessuna frazione. L’articolo sul perché la radice di 2 non è una frazione spiega il motivo.
Posso usare una radice in un’espressione con frazioni?
Non direttamente: la calcolatrice delle espressioni con frazioni non ha un operatore di radice. Calcola la radice qui e, se è razionale, riporta il risultato nell’espressione. Per esempio, √(9/16) = 3/4, poi 3/4 + 1/4 = 1.
Perché la radice di una frazione minore di 1 è più grande della frazione?
Perché elevare al quadrato un numero tra 0 e 1 lo rende più piccolo; la sua radice deve quindi essere più grande. √(1/4) = 1/2, e 1/2 è maggiore di 1/4. Per una frazione maggiore di 1 vale il contrario: √(9/4) = 3/2, minore di 9/4.