Avec 27/64 et l’indice 3, la calculatrice donne 3/4. Avec l’indice 2, la même fraction donne √(27/64) ≈ 0,649519052838 (erreur inférieure à 10⁻¹²), car 27 n’est pas un carré parfait. Si vous cherchez à supprimer la racine du dénominateur, consultez le guide pour rationaliser un dénominateur.
Exemple résolu : la racine carrée de 8/18
Un carreau carré a une aire de 8/18 m². Quelle est la longueur de son côté ?
- Simplifiez la fraction. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de 8 et 18 est 2, donc 8/18 = 4/9.
- Prenez la racine de chaque partie. √4 = 2 et √9 = 3.
- Combinez les deux racines. √(8/18) = √(4/9) = 2/3.
Le côté mesure 2/3 m.
Vérification. (2/3)² = 4/9 = 8/18, qui est l’aire de départ.
Ni 8 ni 18 ne sont des carrés parfaits, mais 8/18 se simplifie en un carré parfait. C’est pourquoi la calculatrice simplifie le radicande avant de chercher la racine. Pour revoir comment élever des fractions à une puissance, la page des puissances de fractions permet de faire la vérification inverse.
Quand la racine d’une fraction est-elle rationnelle ?
Cela dépend séparément du numérateur et du dénominateur, une fois la fraction simplifiée. Si les deux sont des puissances parfaites de l’indice, la racine est une fraction. Si l’un des deux ne l’est pas, la racine est irrationnelle, même si le radicande est rationnel. Par exemple, la racine carrée d’un entier est rationnelle seulement si cet entier est un carré parfait : √2 et √3 sont irrationnelles, alors que √49 = 7. Pour la définition de la racine carrée, voir l’article Racine carrée de Wikipédia (consulté le 17 octobre 2026).
| Radicande et indice | Résultat | Pourquoi |
|---|---|---|
| 49/64, indice 2 | 7/8 | 7² = 49 et 8² = 64 |
| 27/125, indice 3 | 3/5 | 3³ = 27 et 5³ = 125 |
| 27/64, indice 2 | ≈ 0,649519052838 (erreur < 10⁻¹²) | 27 n’est pas un carré parfait |
| −64/125, indice 3 | −4/5 | (−4)³ = −64 et 5³ = 125 |
Le radicande 27/64 a une racine cubique rationnelle et une racine carrée irrationnelle. C’est l’indice qui décide, pas seulement la fraction.
Racines irrationnelles et valeurs approchées
Quand la racine n’est pas rationnelle, la calculatrice ne la convertit pas en fraction. Elle affiche le radical et une valeur approchée précédée de ≈. Elle est tronquée vers zéro : avec 4 décimales, √(2/3) s’affiche ≈ 0,8164 (erreur inférieure à 0,0001) et, avec 12 décimales, ≈ 0,816496580927 (erreur inférieure à 10⁻¹²). Arrondie à 4 décimales, elle vaudrait ≈ 0,8165 (erreur inférieure à 0,00005), car le chiffre suivant est 9. Demander plus de décimales affiche plus de chiffres, mais ne rend pas la racine rationnelle.
Beaucoup de manuels écrivent le résultat sans radical au dénominateur. Pour √(2/3), on multiplie en haut et en bas par √3, ce qui donne √(2/3) = √2/√3 = √6/3. C’est le même nombre écrit autrement, car en élevant au carré, (√6/3)² = 6/9, on retrouve le radicande. La calculatrice laisse la racine telle que vous l’avez saisie ; la méthode complète se trouve dans le guide pour rationaliser un dénominateur.
Si vous voulez une fraction simple proche d’une racine irrationnelle, utilisez approximer un décimal par une fraction avec un dénominateur maximal. Ce sera une fraction voisine, jamais égale à la racine. L’article expliquant pourquoi la racine de 2 n’est pas une fraction démontre le cas le plus connu.
Racines de nombres négatifs
Un radicande négatif n’a de racine réelle qu’avec un indice impair, et la racine garde alors le signe. Avec un indice pair, comme √(−1/4), la calculatrice affiche une erreur de domaine et ne renvoie pas de nombres complexes. La calculatrice de priorités opératoires n’a pas non plus d’opérateur racine : calculez donc la racine ici et, si elle est rationnelle, écrivez la fraction dans l’expression.
La définition de la racine principale figure dans l’article Racine carrée de Wikipédia, qui la présente comme l’unique réel positif ou nul dont le carré est le radicande (consulté le 17 octobre 2026).
Questions fréquentes
Comment saisir un nombre décimal ou un nombre mixte comme radicande ?
Écrivez le nombre décimal avec une virgule ou un point, et le nombre mixte avec un espace. La calculatrice les convertit en fraction avant de prendre la racine : 0,36 vaut 9/25 et sa racine carrée est 3/5 ; 2 1/4 vaut 9/4 et sa racine est 3/2. Les décimaux périodiques, comme 0,(1), sont aussi acceptés.
Pourquoi la racine d’une fraction inférieure à 1 est-elle plus grande qu’elle ?
Parce que mettre au carré un nombre compris entre 0 et 1 le rend plus petit. C’est pourquoi √(1/9) = 1/3, et 1/3 est supérieur à 1/9. Avec les fractions supérieures à 1, c’est l’inverse : √(16/9) = 4/3, qui est inférieur à 16/9.