Aucune fraction p/q, avec p et q entiers, ne vaut exactement √2. On le démontre par l’absurde : s’il existait une fraction irréductible de cette valeur, p comme q devraient être pairs, et une fraction irréductible ne peut pas avoir les deux pairs. Il existe en revanche des fractions très proches, comme 99/70, dont l’erreur est d’environ 0,000072.
Ce que demande l’affirmation « √2 est une fraction »
Une fraction est un quotient de deux entiers dont le dénominateur n’est pas nul. Un nombre qui s’écrit ainsi est rationnel, comme l’explique le guide sur les fractions et les nombres rationnels. Demander si √2 est une fraction revient à demander si un tel couple d’entiers existe.
Avant de le chercher, il faut fixer une forme. Toute fraction se simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : 6/8 devient 3/4 parce que PGCD(6, 8) = 2. Si vous ne vous souvenez plus de la méthode, la calculatrice de PGCD la fait pour vous. Sous forme irréductible, p et q n’ont aucun facteur commun supérieur à 1. C’est cette condition que la preuve finit par briser.
La preuve par l’absurde
On suppose le contraire de ce que l’on veut prouver et l’on cherche une absurdité.
- Supposez la fraction. Soit √2 = p/q, avec p et q entiers, q non nul et PGCD(p, q) = 1.
- Élevez au carré. On obtient 2 = p²/q², c’est-à-dire p² = 2q².
- Regardez la parité. Le nombre p² est le double d’un entier, donc il est pair. Un carré pair vient d’une base paire, de sorte que p = 2m pour un certain entier m.
- Remplacez. (2m)² = 2q² donne 4m² = 2q², et en divisant par 2 il reste q² = 2m². Alors q² est pair, et q aussi.
Puisque p et q sont pairs, tous deux sont divisibles par 2, ce qui contredit PGCD(p, q) = 1. L’hypothèse ne peut pas être vraie.
Le seul fait de divisibilité utilisé est qu’un carré pair a une base paire. On le vérifie vite par l’autre côté : si p = 2k + 1, alors p² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, qui est impair.
L’irréductibilité n’est pas un détail. Si l’on admettait des fractions non simplifiées, « p et q sont pairs » ne contredirait rien, car 2/4, 4/8 et 8/16 ont la même valeur. La contradiction apparaît parce que l’on a choisi dès le départ la version la plus réduite.
Cet argument éclaire aussi le cas d’autres racines. Pour √3, la même idée marche avec « multiple de 3 » à la place de « pair », mais d’autres racines, comme √8 ou √12, demandent d’adapter le raisonnement. Et avec √4, aucune absurdité n’apparaît, puisque √4 = 2 = 2/1 est une fraction. La preuve ne peut aboutir à une absurdité que si le radicande n’est pas un carré parfait.
Des fractions qui s’approchent de √2
Comme aucune fraction ne vaut √2, il est utile de savoir lesquelles l’approchent le mieux pour leur taille. Le tableau réunit les premières, avec leur carré et l’erreur absolue par rapport à √2 ≈ 1,41421356 (arrondi à 8 décimales).
| Fraction | Carré exact | Erreur (approx.) | Position |
|---|---|---|---|
| 3/2 | 9/4 = 2,25 | 0,085786 | au-dessus |
| 7/5 | 49/25 = 1,96 | 0,014214 | en dessous |
| 17/12 | 289/144 ≈ 2,0069 | 0,002453 | au-dessus |
| 41/29 | 1681/841 ≈ 1,9988 | 0,000420 | en dessous |
| 99/70 | 9801/4900 ≈ 2,0002 | 0,000072 | au-dessus |
L’erreur diminue à chaque ligne et le côté alterne, si bien que deux fractions consécutives encadrent √2. Les erreurs et les carrés décimaux sont arrondis (à six et à quatre décimales) ; aucun carré du tableau ne vaut 2.
Exemple résolu : à quelle distance se trouve 17/12
Vous voulez savoir si cette fraction peut valoir √2 et, sinon, de combien son carré s'écarte de 2.
- Élevez la fraction au carré. 17² = 289 et 12² = 144, donc (17/12)² = 289/144.
- Comparez avec 2. Comme 2 = 288/144, la différence est 289/144 − 288/144 = 1/144.
- Interprétez. Le carré dépasse 2 de 1/144 ≈ 0,0069 (arrondi à 4 décimales), donc la fraction est un peu plus grande que √2.
Résultat : 17/12 n'est pas égal à √2 ; son carré est 289/144, qui dépasse 2 de 1/144.
Vérification : la fraction ≈ 1,41667 et √2 ≈ 1,41421 (tous deux arrondis à 5 décimales), donc elle se trouve environ 0,0025 au-dessus, comme l'indique le tableau.
Un motif ne se voit pas au premier coup d’œil. Dans les cinq fractions, p² − 2q² vaut +1 ou −1. Pour 7/5, on trouve 49 − 50 = −1, et pour la troisième, 289 − 288 = 1. Cela explique de quel côté se place chaque fraction et pourquoi l’erreur ne peut pas être grande : le carré de la fraction diffère de 2 d’exactement 1/q². Si vous poursuivez la liste, les suivantes sont 239/169 et 577/408. Cette dernière apparaît dans les Sulba Sutras indiens, d’après l’article de Wikipédia en espagnol cité à la fin.
Une confusion fréquente consiste à lire 1,4142 comme 14142/10000 et à conclure que √2 est rationnel.
D’où viennent ces fractions
Les fractions du tableau sont les réduites de la fraction continue [1 ; 2, 2, 2, …], où le 2 se répète sans fin. En coupant la chaîne à un endroit et en reconstruisant la fraction, on obtient chaque approximation : [1 ; 2] donne 3/2, [1 ; 2, 2] donne 7/5 et [1 ; 2, 2, 2] donne 17/12. Pour suivre le procédé sur une fraction rationnelle, la calculatrice de fractions continues calcule le développement et ses réduites. Elle ne développe pas la chaîne infinie d’un irrationnel comme √2, car elle n’accepte que des fractions.
Si vous partez d’une décimale et cherchez la fraction simple la plus proche, l’outil approximer une décimale par une fraction trouve la meilleure avec un dénominateur maximal que vous choisissez, et affiche l’erreur. Avec un dénominateur maximal de 70 et la décimale 1,41421356, il propose 99/70, la fraction du tableau ; avec un maximum de 100, il propose 140/99, qui n’est pas dans le tableau et présente une erreur du même ordre (0,000072). Quant à la calculatrice de racines de fractions, elle laisse √2 sous forme d’expression exacte et signale la décimale par ≈. Elle ne donne une valeur exacte que si le numérateur et le dénominateur sont des carrés parfaits, comme dans √(4/9) = 2/3.
Un cas du quotidien : le papier de la série A
Les feuilles de la série A, comme A4 et A3, sont conçues avec des côtés dans le rapport 1 : √2. Si le petit côté mesure 1, le grand mesure √2. Quand on coupe la feuille en deux par le milieu du grand côté, chaque moitié mesure 1 sur √2/2, et une fois pivotée, son rapport longueur/largeur est 1 ÷ (√2/2) = 2/√2 = √2. La forme se conserve, et c’est pourquoi agrandir ou réduire une feuille de la série A ne déforme rien. Ici, √2 apparaît comme rapport entre deux longueurs, jamais comme quotient de deux entiers.
Qui l’a découverte
La tradition attribue la découverte de l’irrationalité à l’école pythagoricienne, et l’article de Wikipédia en espagnol cite Hippase de Métaponte comme le premier à l’avoir démontrée par la géométrie. L’attribution reste incertaine : MacTutor indique qu’on l’attribue aux pythagoriciens, mais qu’elle paraît peu probable pour Pythagore lui-même, et la Stanford Encyclopedia of Philosophy note qu’Eudème n’attribue pas à Pythagore en personne les découvertes pythagoriciennes que rapporte Proclus. C’est pourquoi on parle ici de l’école et non d’une personne. La démonstration ci-dessus est celle de la parité, l’une des plus courtes ; celle que cite Wikipédia est géométrique.
Exercices
Trois vérifications
- Élevez 99/70 au carré et dites de combien le résultat dépasse 2.
- Calculez p² − 2q² pour 41/29.
- Expliquez pourquoi la preuve ne fonctionne pas avec √9.
Voir les réponses
- 99² = 9801 et 70² = 4900, donc (99/70)² = 9801/4900. Comme 2 = 9800/4900, il dépasse 2 de 1/4900.
- 41² − 2 × 29² = 1681 − 1682 = −1.
- Parce que √9 = 3 = 3/1 est une fraction. Dans p² = 9q², le fait que p soit multiple de 3 ne mène à aucune absurdité.
Sources
- Wikipédia en espagnol, Raíz cuadrada de 2 (en espagnol) : attribution à Hippase de Métaponte et 577/408 dans les Sulba Sutras (consulté le 17 octobre 2026).
- MacTutor, Pythagoras of Samos (en anglais) : attribution aux pythagoriciens et non à Pythagore (consulté le 17 octobre 2026).
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Pythagoras (en anglais) : Eudème n’attribue pas à Pythagore en personne les découvertes pythagoriciennes que rapporte Proclus (consulté le 17 octobre 2026).