Akar kuadrat dari 2 irasional: tidak ada pecahan p/q, dengan p dan q bilangan bulat, yang nilainya tepat √2. Pembuktian bahwa akar 2 irasional adalah pembuktian dengan kontradiksi: jika pecahan itu ada dalam bentuk paling sederhana, akan disimpulkan bahwa p dan q keduanya genap, dan itu melanggar syarat tersebut. Kalkulator akar pecahan hanya dapat menampilkan pendekatan yang ditandai dengan ≈.
Yang penting
- √2 ≈ 1,4142136: tidak ada hasil bagi dua bilangan bulat yang memberi nilai itu secara tepat.
- Setiap pecahan dapat disederhanakan ke pecahan paling sederhana, ketika pembilang dan penyebut tidak punya faktor persekutuan.
- Pembuktian mengandaikan √2 = p/q dalam bentuk paling sederhana dan menyimpulkan p dan q genap, sehingga syarat itu dilanggar.
- Langkah penentunya adalah paritas: jika p² genap, maka p genap.
- Pecahan 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, dan 99/70 menghampiri √2 secara bergantian, dari atas dan dari bawah.
- Selembar kertas seri A memiliki sisi dengan perbandingan 1:√2; karena itu, memotongnya menjadi dua tidak mengubah bentuknya.
Apa yang membuat suatu bilangan menjadi pecahan?
Agar suatu bilangan disebut pecahan, bilangan itu harus dapat ditulis sebagai hasil bagi p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q tidak nol. Itu juga definisi bilangan rasional, seperti dijelaskan panduan pecahan dan bilangan rasional, jadi pertanyaan «apakah √2 pecahan?» sama dengan «apakah pasangan bilangan bulat itu ada?». Akar 2 memenuhi syarat penyebut tidak nol tanpa masalah; yang gagal adalah keberadaan pasangan bilangan bulat tersebut.
Sebelum membandingkan apa pun, sebaiknya disederhanakan. Setiap pecahan dengan penyebut tidak nol dapat dibawa ke bentuk paling sederhana dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan terbesar. Misalnya, 6/8 disederhanakan menjadi 3/4 karena FPB(6, 8) = 2. Dalam pecahan paling sederhana, p dan q saling prima: tidak punya faktor persekutuan yang lebih besar dari 1. Kalkulator faktor persekutuan terbesar menemukan faktor itu dan menunjukkan kapan suatu pecahan tidak dapat disederhanakan lagi.
Rincian yang tampak seperti formalitas ini justru yang membuat pembuktian bekerja: pembuktian tidak hanya menyatakan bahwa p dan q genap, tetapi bahwa hal itu mustahil dalam bentuk paling sederhana yang ditetapkan di awal.
Pembuktian bahwa akar 2 irasional
Pembuktian berjalan dengan kontradiksi: kita mengandaikan kebalikan dari yang ingin dibuktikan lalu sampai pada kemustahilan. Berikut keempat langkahnya.
p² = 2q² → p genap → q genap → kontradiksi dengan «tanpa faktor persekutuan».
- Andaikan kebalikannya. Kita mulai dari pernyataan bahwa √2 dapat ditulis sebagai pecahan paling sederhana p/q, dengan p dan q bilangan bulat, q tidak nol, dan FPB(p, q) = 1.
- Kuadratkan kedua ruas. Jika √2 = p/q, maka 2 = p²/q². Kalikan dengan q² sehingga diperoleh p² = 2q².
- Amati paritas. Karena p² = 2q², bilangan p² genap, sebab sama dengan dua kali suatu bilangan bulat. Kuadrat yang genap memaksa bilangan dasarnya genap, jadi p = 2m untuk suatu bilangan bulat m.
- Temukan kontradiksi. Substitusikan p = 2m ke persamaan: (2m)² = 2q², yaitu 4m² = 2q², dan setelah dibagi 2 tersisa 2m² = q². Maka q² genap dan, dengan alasan yang sama, q juga genap. Jika p dan q keduanya genap, keduanya punya faktor 2, padahal disyaratkan saling prima. Pengandaian awal mustahil.
Mengapa jika p² genap maka p genap?
Karena kuadrat setiap bilangan ganjil tetap ganjil. Jika p ganjil, p dapat ditulis p = 2k + 1 dan kuadratnya adalah (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, yang ganjil. Jadi, jika p² genap, p tidak mungkin ganjil: p harus genap.
Ini satu-satunya fakta keterbagian yang dibutuhkan pembuktian, dan sekaligus menjelaskan mengapa alasan yang sama gagal untuk bilangan lain. Untuk menunjukkan bahwa √3 bukan pecahan, penalarannya sama, tetapi dengan «kelipatan 3» sebagai ganti «genap»: dari p² = 3q² disimpulkan p kelipatan 3, lalu q juga. Pada √4 tidak ada kontradiksi, karena √4 = 2 bukan irasional.
Bentuk paling sederhana, bagian yang membuat pembuktian bekerja
Bentuk paling sederhana adalah titik yang tepat rusak. Jika pecahan yang belum disederhanakan diperbolehkan, hasil «p dan q genap» tidak akan kontradiktif: pecahan yang sama dapat ditulis 2/4, 4/8, atau 8/16 dan rantainya tidak akan pernah berhenti. Kontradiksi hanya ada karena sejak awal ditetapkan p dan q tidak punya faktor persekutuan.
Dengan kata lain, pembuktian tidak menyatakan bahwa kita tidak dapat menulis hasil bagi yang mirip √2, melainkan bahwa tidak ada hasil bagi tepat dalam bentuk paling sederhana. Tanpa syarat awal, penalaran itu akan berhenti di tengah jalan.
Pendekatan terbaik untuk √2 dengan pecahan sederhana
Karena tidak ada pecahan yang tepat sama dengan √2, yang berguna adalah mengetahui pecahan yang paling dekat. Tabel berikut memuat lima yang pertama, dengan kuadrat tepatnya, nilai desimal pendekatannya, dan galat mutlaknya terhadap √2 ≈ 1,4142136.
| Pecahan | Kuadrat tepat | Nilai (pendekatan) | Galat mutlak | Sisi |
|---|---|---|---|---|
| 3/2 | 9/4 = 2,25 | 1,5 | 0,0857864 | di atas |
| 7/5 | 49/25 = 1,96 | 1,4 | 0,0142136 | di bawah |
| 17/12 | 289/144 ≈ 2,0069444 | ≈ 1,4166667 | 0,0024531 | di atas |
| 41/29 | 1681/841 ≈ 1,9988109 | ≈ 1,4137931 | 0,0004205 | di bawah |
| 99/70 | 9801/4900 ≈ 2,0002041 | ≈ 1,4142857 | 0,0000722 | di atas |
Kuadratnya menegaskan gagasan itu: 9/4 dan 49/25 tepat, sedangkan 17/12 dikuadratkan memberi 289/144, yang nilainya sekitar 2,006944, sedikit lebih dari 2. Di sisi lain, 41/29 dikuadratkan adalah 1681/841, sekitar 1,998810, sedikit kurang dari 2. Pecahan 99/70 lebih dekat lagi, dengan 9801/4900, sekitar 2,000204. Setiap kuadrat meleset dari 2 hanya sedikit (1/144, 1/841, dan 1/4900), dan pecahannya meleset dari √2 sekitar 0,35 kali jarak itu.
Kesalahan umum adalah menulis 1,4142 = 14142/10000 dan menyimpulkan bahwa √2 sama dengan pecahan itu. Itu salah: 14142/10000 adalah bilangan rasional yang dekat, tetapi kuadratnya sekitar 1,9999616, bukan tepat 2. Penulisan yang benar memakai tanda pendekatan: 1,4142 ≈ √2, bukan kesamaan.
Berapa galat setiap pendekatan?
Galat pendekatan adalah selisih antara pecahan dan nilai tepatnya, diambil sebagai nilai mutlak. Dari yang terkecil ke terbesar, urutannya 99/70, 41/29, 17/12, 7/5, dan 3/2: yang terakhir menyimpang hampir 0,086 dan yang pertama kurang dari 0,00008. Setiap suku baru mengurangi galat sekitar enam kali dibanding suku sebelumnya.
Ini bukan kebetulan. Pada kelima pecahan ini, kuadratnya berjarak satu satuan dari 2q²: p² − 2q² bernilai +1 atau −1 bergantung kasusnya. Untuk 7/5, 49 − 2 × 25 = 49 − 50 = −1; untuk 17/12, 289 − 2 × 144 = 289 − 288 = +1. Tandanya menjelaskan mengapa sebagian mendekat dari atas dan sebagian dari bawah, dan menjamin galatnya tidak mungkin besar: nilainya dikendalikan oleh 1 dibagi kuadrat penyebut.
Apa itu konvergen dari [1; 2, 2, 2, …]?
Pecahan berlanjut menulis suatu bilangan sebagai bagian bulat ditambah rantai kebalikan. Untuk √2, rantainya mengulang angka 2 tanpa henti dan ditulis [1; 2, 2, 2, …]. Dengan memotong rantai di titik berbeda dan menyusun ulang pecahannya, diperoleh konvergen, yaitu pendekatan rasional terbaik dengan penyebut kecil. Kalkulator pecahan berlanjut menguraikan pecahan rasional menjadi koefisiennya, menampilkan konvergennya, dan menyusun ulang pecahan tepatnya; alat ini hanya bekerja dengan masukan rasional dan tidak menghitung uraian tak hingga dari bilangan irasional seperti √2.
Konvergen pertama dari √2 adalah 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, dan 99/70. Masing-masing lebih dekat daripada yang sebelumnya dan berganti sisi: 7/5 di bawah, 17/12 di atas, 41/29 di bawah, dan 99/70 di atas. Karena itu, dua konvergen berurutan mengurung √2 dalam selang yang makin sempit.
7/5 = 1,4; 41/29 ≈ 1,4138; 17/12 ≈ 1,4167; 3/2 = 1,5.
Coba: tiga pemeriksaan
Latihan ini diselesaikan dengan definisi di atas.
- Periksa bahwa 7/5 bukan tepat √2. Jawaban: kuadratnya 49/25 = 1,96, dan 1,96 ≠ 2. Karena kuadratnya bukan 2, pecahan itu bukan akarnya.
- Kuadratkan 99/70. Jawaban: 99² = 9801 dan 70² = 4900, jadi kuadratnya 9801/4900 ≈ 2,000204. Nilainya melebihi 2 sebesar 1/4900 ≈ 0,000204.
- Hitung berapa kekurangan 41/29 untuk mencapai 2. Jawaban: 2 − 1681/841 = (1682 − 1681)/841 = 1/841 ≈ 0,001189. Dalam satuan pecahan itu sendiri, sangat sedikit.
Perbandingan 1:√2 dan kertas seri A
Kertas seri A, seperti A4 dan A3, memiliki sisi dengan perbandingan 1:√2. Pilihan itu membuat, ketika selembar kertas dipotong dua pada sisi panjangnya, kedua belahannya kembali memiliki perbandingan yang sama dan bentuknya berulang. Andaikan sisi pendeknya 1: sisi panjangnya √2. Ketika dipotong dua, setiap belahan berukuran lebar 1 dan panjang √2/2; setelah diputar, panjang dibagi lebarnya adalah 1/(√2/2) = 2/√2 = √2. Perbandingannya kembali sama.
Apa yang ditampilkan kalkulator untuk akar 2
Kalkulator akar pecahan memisahkan hasil tepat dari hasil pendekatan. Jika radikannya 2, akarnya tidak rasional. Pecahan yang sudah paling sederhana memiliki akar rasional hanya jika pembilang dan penyebutnya sama-sama kuadrat sempurna. Karena itu √(8/2) = √4 = 2 eksak: 8/2 dapat disederhanakan menjadi 4. Alat itu mempertahankan bentuk tepatnya dan menampilkan desimal terpotong, bukan dibulatkan, yang ditandai sebagai pendekatan. Alat itu tidak menulis «√2 = 1,4142», karena kesamaan itu salah; alat itu menulis pendekatan dengan ≈.
Untuk mengubah desimal menjadi pecahan yang dekat, alat pendekatan desimal ke pecahan mencari pecahan terbaik dengan penyebut maksimum dan menampilkan galat tepatnya. Jika yang diinginkan bukan akar melainkan desimal dari sebuah pecahan, kalkulator pecahan ke desimal melakukan konversinya; panduan pecahan dengan desimal berhingga menjelaskan penyebut mana yang menghasilkan desimal yang berakhir.
Mengapa pembuktian paritas bekerja
Pembuktian bekerja karena menggabungkan tiga fakta yang tidak bergantung khusus pada √2: setiap bilangan rasional punya satu bentuk paling sederhana, mengkuadratkan mempertahankan paritas (bilangan genap menghasilkan kuadrat genap dan bilangan ganjil menghasilkan kuadrat ganjil), dan 2 bukan kuadrat sempurna. Gabungannya memaksa p dan q memiliki faktor 2, persis yang dilarang oleh bentuk paling sederhana.
Andaikan √2 adalah pecahan: apa yang akan gagal
Andaikan ada pasangan bilangan bulat yang saling prima dan memenuhi p² = 2q². Pencarian langsung tidak menemukan pasangan saling prima dengan penyebut di bawah 3000 yang memenuhi kesamaan itu, dan pembuktian menjelaskan mengapa tidak akan ada pada ukuran berapa pun: setiap solusi pasti terdiri dari dua bilangan genap. Kontradiksinya tidak terbatas pada kasus kecil yang dapat diperiksa dengan tangan.
Batas pembuktian ini
Pembuktian ini menunjukkan bahwa √2 bukan pecahan, dan tidak lebih. Pembuktian ini tidak menghitung desimal √2, tidak mengukur mutu suatu pendekatan, dan tidak menyatakan berapa banyak pecahan yang mendekati nilai tertentu. Pembuktian ini juga tidak menentukan apakah akar lain rasional: untuk itu perlu mengulang penalaran dengan faktor yang sesuai atau memeriksa apakah radikannya kuadrat sempurna. Untuk pendekatan numerik, lebih baik memakai pecahan berlanjut atau pendekatan dengan penyebut terbatas, yang memang dirancang untuk itu.
Sebaiknya pembuktian ini juga tidak dibaca sebagai aturan hitung. Mengetahui √2 bukan rasional tidak mencegah penggunaan 99/70 dalam perhitungan praktis; itu hanya mengingatkan bahwa hasilnya adalah pendekatan dan harus ditandai sebagai pendekatan.
Ringkasan: mengapa akar 2 irasional
Pembuktian bahwa akar 2 irasional adalah rantai pendek: pecahan paling sederhana p/q dengan p² = 2q² memaksa p genap dan kemudian q juga genap, yang bertentangan dengan tidak adanya faktor persekutuan. Karena itu tidak ada pecahan yang tepat, hanya pendekatan seperti 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, dan 99/70. Perbandingan 1:√2 pada kertas seri A menunjukkan bilangan itu muncul bahkan pada benda sehari-hari, selalu sebagai perbandingan, tidak pernah sebagai hasil bagi bilangan bulat.
Pertanyaan umum
Bisakah √2 ditulis sebagai desimal tepat?
Tidak. Desimal √2 tidak berakhir dan tidak mengulang satu blok angka; desimalnya tak hingga dan tidak periodik. Desimal apa pun yang ditulis, seperti 1,4142, adalah pendekatan. Jika ditulis 1,414 = 707/500, kita memperoleh pecahan, tetapi bilangan yang dekat dan berbeda dari √2.
Mengapa pembuktian ini dikaitkan dengan Pythagoras?
Pembuktian ini klasik dan secara tradisional dikaitkan dengan sekolah Pythagoras di Yunani kuno. Tidak diketahui dengan pasti siapa yang merumuskannya lebih dulu, jadi lebih baik menyebut sekolahnya daripada satu orang. Argumen paritas yang dipakai di sini sama dengan versi klasiknya.
Apakah pecahan 99/70 tepat sama dengan √2?
Tidak. 99/70 bernilai sekitar 1,4142857 dan kuadratnya 9801/4900, sekitar 2,000204, bukan tepat 2. Itu yang terbaik di antara lima pecahan pada tabel, tetapi tetap pendekatan: kuadratnyalah yang melebihi 2 sebesar 1/4900, yaitu sekitar 0,000204.
Bagaimana konvergen 3/2, 7/5, dan 17/12 diperoleh?
Konvergen diperoleh dengan memotong pecahan berlanjut [1; 2, 2, 2, …] di titik berbeda. Berhenti pada [1; 2] memberi 3/2; pada [1; 2, 2] memberi 7/5; pada [1; 2, 2, 2] memberi 17/12. Menambah satu angka 2 lagi memperbaiki pendekatan dan mengganti sisi pendekatannya.
Mengapa galat 41/29 begitu kecil?
Karena 41/29 dikuadratkan adalah 1681/841 dan 2 = 1682/841, jadi selisihnya 1/841, sekitar 0,001189. Pembilang dan penyebut yang dikuadratkan hanya berjarak satu satuan, sehingga galatnya diukur dalam satuan 1 dibagi kuadrat penyebut.
Apa hubungan √2 dengan ukuran kertas?
Kertas seri A, seperti A4 dan A3, memiliki sisi dengan perbandingan 1:√2. Berkat perbandingan itu, memotong kertas menjadi dua pada sisi panjangnya menghasilkan dua lembar dengan perbandingan yang sama, dan bentuknya tetap ketika ukurannya diperkecil atau diperbesar.