Es gibt keinen Bruch p/q mit ganzen Zahlen p und q, der genau √2 ergibt. Das zeigt ein Widerspruchsbeweis: Gäbe es einen vollständig gekürzten Bruch mit dieser Eigenschaft, müssten p und q beide gerade sein, und ein vollständig gekürzter Bruch kann nicht zwei gerade Zahlen enthalten. Es gibt aber Brüche ganz in der Nähe, etwa 99/70 mit einem Fehler von rund 0,000072.
Was es heißt, dass √2 ein Bruch wäre
Ein Bruch ist ein Quotient zweier ganzer Zahlen mit Nenner ungleich null. Eine Zahl, die sich so schreiben lässt, ist rational, wie der Ratgeber zu Brüchen als rationale Zahlen erklärt. Die Frage, ob √2 ein Bruch ist, ist also die Frage, ob es dieses Paar ganzer Zahlen gibt.
Bevor du danach suchst, brauchst du eine feste Form. Jeder Bruch wird gekürzt, indem du Zähler und Nenner durch ihren ggT teilst: 6/8 wird zu 3/4, weil ggT(6, 8) = 2. Wenn du nicht mehr weißt, wie man ihn findet, rechnet ihn der Rechner für den größten gemeinsamen Teiler aus. In vollständig gekürzter Form haben p und q keinen gemeinsamen Teiler größer als 1. Genau diese Bedingung bricht der Beweis am Ende.
Der Widerspruchsbeweis
Man nimmt das Gegenteil dessen an, was man zeigen will, und sucht den Widerspruch.
- Nimm den Bruch an. Sei √2 = p/q, mit ganzen Zahlen p und q, q ungleich null und ggT(p, q) = 1.
- Quadriere. Es folgt 2 = p²/q², also p² = 2q².
- Prüfe die Parität. Die Zahl p² ist das Doppelte einer ganzen Zahl, also gerade. Ein gerades Quadrat stammt von einer geraden Basis, also ist p = 2m für eine ganze Zahl m.
- Setze ein. (2m)² = 2q² ergibt 4m² = 2q², und nach der Division durch 2 bleibt q² = 2m². Dann ist q² gerade und damit auch q.
Wenn p und q beide gerade sind, lassen sich beide durch 2 teilen, und das widerspricht ggT(p, q) = 1. Die Annahme kann nicht stimmen.
Die einzige Teilbarkeitstatsache, die der Beweis nutzt, ist: Ein gerades Quadrat hat eine gerade Basis. Das lässt sich schnell von der anderen Seite prüfen: Für p = 2k + 1 ist p² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, also ungerade.
Die vollständige Kürzung ist keine Zierde. Wären ungekürzte Brüche erlaubt, widerspräche „p und q sind gerade“ nichts, denn 2/4, 4/8 und 8/16 haben denselben Wert. Der Widerspruch entsteht nur, weil von Anfang an die am weitesten gekürzte Form gewählt wurde.
Das Argument zeigt auch, was bei anderen Wurzeln passiert. Für √3 funktioniert dieselbe Idee mit „Vielfaches von 3“ statt „gerade“, aber andere Wurzeln wie √8 oder √12 verlangen eine Anpassung des Arguments. Bei √4 entsteht kein Widerspruch, denn √4 = 2 = 2/1 ist ein Bruch. Der Beweis kann nur dann einen Widerspruch liefern, wenn der Radikand keine Quadratzahl ist.
Brüche, die √2 nahekommen
Da kein Bruch genau √2 ergibt, ist es nützlich zu wissen, welche für ihre Größe am nächsten kommen. Die Tabelle zeigt die ersten, mit ihrem Quadrat und dem absoluten Fehler gegenüber √2 ≈ 1,41421356 (auf 8 Dezimalstellen gerundet).
| Bruch | Exaktes Quadrat | Fehler (ca.) | Liegt |
|---|---|---|---|
| 3/2 | 9/4 = 2,25 | 0,085786 | darüber |
| 7/5 | 49/25 = 1,96 | 0,014214 | darunter |
| 17/12 | 289/144 ≈ 2,0069 | 0,002453 | darüber |
| 41/29 | 1681/841 ≈ 1,9988 | 0,000420 | darunter |
| 99/70 | 9801/4900 ≈ 2,0002 | 0,000072 | darüber |
Der Fehler wird in jeder Zeile kleiner, und die Seite wechselt ab, sodass je zwei aufeinanderfolgende Brüche √2 einschließen. Fehler und Dezimalquadrate sind gerundet (auf sechs bzw. vier Stellen); kein Quadrat in der Tabelle ist 2.
Beispiel: Wie nah liegt 17/12?
Du willst wissen, ob dieser Bruch √2 sein kann und, wenn nicht, um wie viel sein Quadrat danebenliegt.
- Quadriere den Bruch. 17² = 289 und 12² = 144, also ist (17/12)² = 289/144.
- Vergleiche mit 2. Da 2 = 288/144, ist der Unterschied 289/144 − 288/144 = 1/144.
- Deute das Ergebnis. Das Quadrat liegt um 1/144 ≈ 0,0069 (auf 4 Dezimalstellen gerundet) über 2, der Bruch ist also etwas größer als √2.
Ergebnis: 17/12 ist nicht √2; sein Quadrat ist 289/144 und liegt um 1/144 über 2.
Probe: Der Bruch ≈ 1,41667 und √2 ≈ 1,41421 (beide auf 5 Dezimalstellen gerundet), er liegt also rund 0,0025 darüber, wie die Tabelle zeigt.
Es gibt ein Muster, das man nicht auf den ersten Blick sieht. Bei allen fünf Brüchen ist p² − 2q² gleich +1 oder −1. Für 7/5 ergibt sich 49 − 50 = −1, für den dritten Bruch 289 − 288 = 1. Das erklärt, auf welcher Seite jeder liegt und warum der Fehler nicht groß sein kann: Das Quadrat des Bruchs weicht von 2 um genau 1/q² ab. Setzt du die Liste fort, folgen 239/169 und 577/408. Mit dem letzten Bruch haben schon die alten Inder √2 geschätzt, wie der unten genannte Wikipedia-Artikel schreibt.
Ein häufiger Irrtum ist, 1,4142 als 14142/10000 zu lesen und daraus zu schließen, √2 sei rational.
Woher diese Brüche kommen
Die Brüche der Tabelle sind die Näherungsbrüche des Kettenbruchs [1; 2, 2, 2, …], in dem sich die 2 endlos wiederholt. Schneidest du die Kette an einer Stelle ab und setzt den Bruch wieder zusammen, erhältst du je eine Näherung: [1; 2] ist 3/2, [1; 2, 2] ist 7/5 und [1; 2, 2, 2] ist 17/12. Wie das bei einem rationalen Bruch abläuft, zeigt der Kettenbruch-Rechner, der die Entwicklung und ihre Näherungsbrüche berechnet. Die unendliche Kette einer irrationalen Zahl wie √2 entwickelt er nicht, weil er nur Brüche annimmt.
Wenn du von einer Dezimalzahl ausgehst und den einfachsten Bruch in der Nähe suchst, findet Dezimalzahl durch Bruch annähern den besten Bruch mit einem Höchstnenner deiner Wahl und zeigt den Fehler. Mit Höchstnenner 70 und der Dezimalzahl 1,41421356 schlägt es 99/70 vor, den Bruch aus der Tabelle; mit Höchstnenner 100 schlägt es 140/99 vor, der nicht in der Tabelle steht und einen Fehler in derselben Größenordnung hat (0,000072). Und der Rechner für Wurzeln aus Brüchen lässt √2 als exakten Ausdruck stehen und kennzeichnet die Dezimalzahl mit ≈. Einen exakten Wert gibt er nur aus, wenn Zähler und Nenner Quadratzahlen sind, wie bei √(4/9) = 2/3.
Ein Alltagsfall: das Papier der A-Reihe
Blätter der A-Reihe wie A4 und A3 sind so gebaut, dass ihre Seiten im Verhältnis 1 : √2 stehen. Misst die kurze Seite 1, misst die lange √2. Halbierst du das Blatt in der Mitte der langen Seite, misst jede Hälfte 1 mal √2/2, und gedreht ist ihr Verhältnis von lang zu kurz 1 ÷ (√2/2) = 2/√2 = √2. Die Form bleibt erhalten, und deshalb verzerrt sich beim Vergrößern oder Verkleinern eines Blatts der A-Reihe nichts. √2 taucht hier als Verhältnis von Längen auf, nie als Quotient zweier ganzer Zahlen.
Wer es entdeckt hat
Die Überlieferung führt die Entdeckung der Irrationalität auf die pythagoreische Schule zurück, und der Wikipedia-Artikel schreibt, dass der Grieche Hippasos von Metapont um 500 v. Chr. die Irrationalität bereits kannte. Die Zuschreibung ist unsicher: MacTutor hält fest, dass die Entdeckung den Pythagoreern zugeschrieben wird, aber wohl nicht Pythagoras selbst zu verdanken ist, und die Stanford Encyclopedia of Philosophy weist darauf hin, dass Eudemos die pythagoreischen Entdeckungen nicht Pythagoras persönlich zuschreibt. Deshalb ist hier von der Schule die Rede und nicht von einer einzelnen Person. Der Beweis oben ist der Paritätsbeweis, einer der kürzesten.
Übe
Drei Prüfungen
- Quadriere 99/70 und gib an, um wie viel das Ergebnis über 2 liegt.
- Berechne p² − 2q² für 41/29.
- Erkläre, warum der Beweis bei √9 nicht funktioniert.
Antworten anzeigen
- 99² = 9801 und 70² = 4900, also ist (99/70)² = 9801/4900. Da 2 = 9800/4900, liegt es um 1/4900 darüber.
- 41² − 2 × 29² = 1681 − 1682 = −1.
- Weil √9 = 3 = 3/1 ein Bruch ist. In p² = 9q² führt es zu keinem Widerspruch, dass p ein Vielfaches von 3 ist.
Quellen
- Wikipedia, Quadratwurzel aus 2: Hippasos von Metapont kannte um 500 v. Chr. die Irrationalität; die alten Inder schätzten √2 mit 577/408 (abgerufen am 17. Oktober 2026).
- MacTutor, Pythagoras of Samos (englisch): Zuschreibung an die Pythagoreer, wohl nicht an Pythagoras selbst (abgerufen am 17. Oktober 2026).
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Pythagoras (englisch): Eudemos schreibt die pythagoreischen Entdeckungen nicht Pythagoras persönlich zu (abgerufen am 17. Oktober 2026).