Gib die Zahlen in den Rechner ein: Die erste Ergebniszeile nennt den ggT, darunter stehen die Divisionen des euklidischen Algorithmus, eine pro Zeile. Ein einziges Beispiel genügt, um die drei Wege zu sehen, die zum selben Wert führen.
Rechenbeispiel: der ggT von 18 und 48
Du willst 18/48 kürzen und zwei Bretter von 18 cm und 48 cm in gleich lange Stücke sägen, so lang wie möglich. Wie lang ist jedes Stück?
- Mit den Teilern. Die Teiler von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9 und 18; die von 48 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 und 48. Die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3 und 6.
- Mit den Primfaktoren. 18 = 2 × 3² und 48 = 2⁴ × 3. Von jeder gemeinsamen Primzahl nimmst du den kleineren Exponenten: 2 × 3 = 6.
- Mit Euklid. 48 = 18 × 2 + 12; 18 = 12 × 1 + 6; 12 = 6 × 2 + 0. Der letzte Divisor vor dem Rest 0 ist 6.
- Nutze den Wert. Jedes Stück ist 6 cm lang. Außerdem gilt 18 ÷ 6 = 3 und 48 ÷ 6 = 8, also 18/48 = 3/8.
Ergebnis: ggT(18, 48) = 6.
Probe: 6 passt dreimal in 18 und achtmal in 48, und 3 und 8 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1. Wäre der ggT größer, ließen sich diese Quotienten noch weiter kürzen.
Die Teiler eignen sich bei kleinen Zahlen, die Primfaktoren, wenn du sie schon hast; bei großen Zahlen ist Euklid der kurze Weg, weil er nur dividiert. Die Zerlegung jeder Zahl siehst du unter Primfaktorzerlegung.
Wann nimmt man den ggT und wann das kgV?
Beide tauchen in ähnlichen Aufgaben auf, beantworten aber gegensätzliche Fragen. Der ggT teilt das, was du hast, in gleich große Teile, so groß wie möglich; das kgV sucht den ersten Punkt, an dem mehrere Maße zusammentreffen.
| Frage | Rechnung | Beispiel |
|---|---|---|
| Einen Bruch kürzen | ggT | 36/60: ggT 12, ergibt 3/5 |
| Gleich lange Stücke schneiden, so lang wie möglich | ggT | Streifen von 42 cm und 56 cm: Stücke von 14 cm |
| Ohne Rest in möglichst viele gleiche Gruppen aufteilen | ggT | 30 Bleistifte und 45 Radiergummis: 15 Gruppen |
| Brüche mit verschiedenen Nennern addieren | kgV | 1/4 + 1/6: Hauptnenner 12 |
| Wissen, wann zwei Abläufe zusammentreffen | kgV | Alle 4 und alle 6 Tage: nach 12 Tagen |
Die Tabelle zeigt schon, wo du anfängst: Wenn etwas geteilt werden soll, ist es der ggT; wenn etwas zusammenkommen soll, das kgV. Bei Textaufgaben ordnet der Ratgeber zu ggT- und kgV-Sachaufgaben sie mit mehr Fällen ein, und der Ratgeber zum Unterschied zwischen ggT und kgV erklärt die Entscheidungsregel.
Dieser Rechner zeigt nur den ggT. Bei zwei Zahlen ergibt sich das kgV daraus: kgV = Produkt ÷ ggT. Mit 18 und 48 ist das 864 ÷ 6 = 144. Willst du es direkt berechnen, gib dieselben Zahlen in den kgV-Rechner ein.
Was du im Ergebnis siehst
Das Ergebnis zeigt eine Zeile pro Division. Gibst du 18 und 48 in dieser Reihenfolge ein, lautet die erste Zeile 18 = 48 × 0 + 18: Weil die erste Zahl kleiner ist, vertauscht diese Division nur das Paar und ändert den ggT nicht. Gibst du 48 und 18 ein, fehlt diese Zeile. In beiden Fällen ist das Ergebnis dasselbe, denn der ggT hängt nicht von der Reihenfolge ab.
Sind die Zahlen Zähler und Nenner eines Bruchs, teile beide durch den ggT, und du erhältst den vollständig gekürzten Bruch. Willst du das Ergebnis direkt, erledigt der Rechner zum Brüche kürzen das ohne Zwischenschritte. Das Teilen durch den ggT kürzt; Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren erweitert, und bei den gleichwertigen Brüchen siehst du beide Rechnungen zusammen.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den ggT von drei Zahlen?
Berechne den ggT der ersten beiden Zahlen und dann den ggT dieses Ergebnisses mit der dritten. Mit 20, 28 und 44: ggT(20, 28) = 4 und ggT(4, 44) = 4. Der Rechner übernimmt diese Paare für dich, bis zu 20 ganze Zahlen, und nummeriert die Divisionen fortlaufend.
Was passiert, wenn eine der Zahlen 0 ist?
Die 0 ist durch jede ganze Zahl teilbar, also gilt ggT(0, 9) = 9: Die Null ändert das Ergebnis nicht. Sind alle Zahlen 0, gibt es keinen größten gemeinsamen Teiler; der Rechner gibt dann vereinbarungsgemäß 0 aus und weist in der Antwort darauf hin.
Kann der ggT negativ sein?
Nein. Der Rechner nimmt die Beträge, denn das Vorzeichen ändert nicht, welche Zahlen genau teilen: ggT(−35, 14) = 7. Tippe das Minuszeichen direkt vor die Zahl, zum Beispiel -35, und jede ganze Zahl in eine eigene Zeile.
Wie viele Divisionen braucht man bei sehr großen Zahlen?
Sehr wenige. Nach dem Satz von Lamé braucht der euklidische Algorithmus höchstens fünfmal so viele Divisionen, wie die kleinere der beiden Zahlen Ziffern hat. Deshalb ist keine Primfaktorzerlegung nötig, selbst bei hundert Ziffern. Der Ratgeber zum euklidischen Algorithmus erklärt, warum.