Saisissez les nombres dans la calculatrice : la première ligne du résultat donne le PGCD, et dessous apparaissent les divisions de l’algorithme d’Euclide, une par ligne. Un seul exemple suffit pour voir les trois chemins qui mènent à la même valeur.
Exemple résolu : le PGCD de 18 et 48
Vous voulez simplifier 18/48 et couper deux rubans de 18 cm et de 48 cm en morceaux égaux, les plus longs possible. Quelle est la longueur de chaque morceau ?
- Avec les diviseurs. Ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 ; ceux de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6.
- Avec les facteurs premiers. 18 = 2 × 3² et 48 = 2⁴ × 3. Pour chaque facteur premier commun, on prend le plus petit exposant : 2 × 3 = 6.
- Avec Euclide. 48 = 18 × 2 + 12 ; 18 = 12 × 1 + 6 ; 12 = 6 × 2 + 0. Le dernier diviseur avant le reste 0 est 6.
- Exploitez le résultat. Chaque morceau mesure 6 cm. De plus, 18 ÷ 6 = 3 et 48 ÷ 6 = 8, donc 18/48 = 3/8.
Résultat : PGCD(18, 48) = 6.
Vérification : 18 contient 3 fois 6 et 48 contient 8 fois 6, et 3 et 8 n’ont plus de diviseur commun supérieur à 1. Si le PGCD était plus grand, ces quotients pourraient encore se simplifier.
Les diviseurs conviennent aux petits nombres, et les facteurs premiers quand vous les avez déjà ; avec de grands nombres, Euclide est le chemin le plus court, car il ne fait que des divisions. Pour voir la décomposition de chaque nombre, utilisez la page de décomposition en facteurs premiers.
Quand utiliser le PGCD et quand le PPCM
Les deux apparaissent dans des problèmes qui se ressemblent, mais répondent à des questions opposées. Le PGCD partage ce que vous avez en parts égales, les plus grandes possible ; le PPCM cherche le premier moment où plusieurs mesures coïncident.
| Question | Calcul | Exemple |
|---|---|---|
| Simplifier une fraction | PGCD | 36/60 : PGCD 12, on obtient 3/5 |
| Couper des morceaux égaux, les plus longs possible | PGCD | Rubans de 42 cm et 56 cm : morceaux de 14 cm |
| Répartir sans reste, dans le plus grand nombre de groupes | PGCD | 30 crayons et 45 gommes : 15 groupes |
| Additionner des fractions de dénominateurs différents | PPCM | 1/4 + 1/6 : dénominateur commun 12 |
| Savoir quand deux cycles coïncident | PPCM | Tous les 4 jours et tous les 6 jours : au bout de 12 jours |
Le tableau indique déjà par où commencer : s’il faut diviser, c’est le PGCD ; s’il faut réunir, c’est le PPCM. Pour les problèmes rédigés, le guide des problèmes de PGCD et de PPCM les classe avec davantage de cas, et la différence entre PGCD et PPCM explique la règle de choix.
Cette calculatrice affiche seulement le PGCD. Pour deux nombres, le PPCM s’en déduit : PPCM = produit ÷ PGCD. Avec 18 et 48, on obtient 864 ÷ 6 = 144. Si vous préférez le calculer directement, saisissez les mêmes nombres dans la calculatrice de PPCM.
Ce que vous verrez dans le résultat
Le résultat affiche une ligne par division. Si vous saisissez 18 et 48 dans cet ordre, la première ligne est 18 = 48 × 0 + 18 : comme le premier nombre est le plus petit, cette division ne fait qu’échanger la paire et ne change pas le PGCD. Si vous saisissez 48 et 18, cette ligne n’apparaît pas. Dans les deux cas, le résultat est le même, car le PGCD ne dépend pas de l’ordre.
Lorsque les nombres sont le numérateur et le dénominateur d’une fraction, divisez-les tous les deux par le PGCD et vous obtiendrez la fraction irréductible. Si vous voulez le résultat directement, la calculatrice pour simplifier une fraction le fait sans étapes intermédiaires. Diviser par le PGCD simplifie ; multiplier numérateur et dénominateur par un même nombre donne une fraction égale, et dans les fractions équivalentes les deux opérations se voient ensemble.
Questions fréquentes
Comment calculer le PGCD de trois nombres ?
Calculez le PGCD des deux premiers, puis celui de ce résultat et du troisième. Avec 20, 28 et 44 : PGCD(20, 28) = 4 et PGCD(4, 44) = 4. La calculatrice fait ces paires à votre place, jusqu’à 20 entiers, et numérote les divisions les unes à la suite des autres.
Que se passe-t-il si l’un des nombres est 0 ?
Le 0 est divisible par tout entier, donc PGCD(0, 9) = 9 : le zéro ne change pas le résultat. Si tous les nombres valent 0, il n’existe pas de plus grand diviseur commun ; la calculatrice renvoie 0 par convention et l’indique dans la réponse.
Le PGCD peut-il être négatif ?
Non. La calculatrice utilise les valeurs absolues, car le signe ne change pas les nombres qui divisent exactement : PGCD(−35, 14) = 7. Tapez le signe moins collé au nombre, par exemple -35, et chaque entier sur sa propre ligne.
Combien de divisions faut-il avec de très grands nombres ?
Très peu. D’après le théorème de Lamé, l’algorithme d’Euclide effectue au plus cinq fois le nombre de chiffres du plus petit des deux nombres. Il n’est donc pas nécessaire de décomposer en facteurs premiers, même avec cent chiffres. Le guide de l’algorithme d’Euclide explique pourquoi.