Saisissez les nombres dans le champ, un par ligne, puis sélectionnez « Calculer ». La première ligne du résultat donne le PPCM et, dessous, le calcul par paires s’affiche avec le PGCD de chaque étape. Avec 12 et 18, vous verrez PGCD(12, 18) = 6 et PPCM = |(12 / 6) × 18| = 36. Pour deux nombres, cette ligne est le résultat combiné du PGCD et du PPCM ; si vous ne voulez que le diviseur, il y a la calculatrice de PGCD, et si vous travaillez avec des fractions, la calculatrice de plus petit dénominateur commun montre les fractions déjà converties.
Exemple résolu : deux bus qui se retrouvent
Un bus part de l'arrêt toutes les 12 minutes et un autre toutes les 18 minutes. Ils partent ensemble à 8 h 00. Quand se retrouvent-ils à nouveau ?
- Calculez le PGCD. PGCD(12, 18) = 6.
- Divisez l’un des nombres par le PGCD. 12 ÷ 6 = 2.
- Multipliez par l’autre nombre. 2 × 18 = 36.
Résultat : PPCM(12, 18) = 36, donc ils repartent ensemble à 8 h 36.
Vérification : 36 ÷ 12 = 3 et 36 ÷ 18 = 2 tombent juste, et aucun nombre inférieur à 36 n'est divisible par les deux.
On divise avant de multiplier pour travailler avec des nombres plus petits. Multiplier 12 × 18 = 216 puis diviser par 6 donne le même résultat, mais avec des chiffres plus grands.
Trois façons de calculer le PPCM à la main
Chaque méthode convient mieux à une situation. Pour voir qu’elles donnent le même résultat, chacune utilise ici une paire différente.
| Méthode | Quand elle convient | Exemple |
|---|---|---|
| Liste de multiples | Petits nombres | 4 et 6 : 4, 8, 12 et 6, 12 ; PPCM = 12 |
| Facteurs premiers | Si vous avez déjà la décomposition | 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3 ; PPCM = 2³ × 3² = 72 |
| Formule avec le PGCD | Grands nombres | 28 et 42 : PGCD = 14 ; (28 ÷ 14) × 42 = 84 |
La liste de multiples s’arrête au premier nombre présent dans les deux lignes. Avec les facteurs premiers, on prend chaque nombre premier avec son plus grand exposant ; le PPCM est un multiple de chaque nombre, il n’est donc jamais plus petit que le plus grand d’entre eux. La calculatrice applique la formule, qui n’a pas besoin de décomposer.
PPCM(4, 6) = 12
Trois nombres ou plus
On procède deux par deux avec le résultat accumulé. Pour 8, 12 et 20 : PPCM(8, 12) = 24, puis PPCM(24, 20) = 120. Le résultat est divisible par chaque nombre de la liste, et 120 ÷ 8 = 15, 120 ÷ 12 = 10 et 120 ÷ 20 = 6 le confirment. La calculatrice accepte jusqu’à 20 entiers, de 100 chiffres au plus chacun.
Les cas à reconnaître
| Cas | Exemple | Ce qui se passe |
|---|---|---|
| Aucun facteur commun | PPCM(5, 8) = 40 | C'est le produit, 5 × 8 |
| L'un est un multiple de l'autre | PPCM(3, 12) = 12 | C'est le plus grand des deux |
| L'un des nombres est 1 | PPCM(9, 1) = 9 | C'est l'autre nombre |
| Un nombre négatif | PPCM(−6, 8) = 24 | On utilise la valeur absolue |
| Un zéro | PPCM(0, 8) = 0 | Convention : le seul multiple de 0 est 0 |
Le zéro est le seul cas qui ne répond pas à « plus petit multiple positif », car il n’existe aucun multiple positif commun. C’est pourquoi un PPCM égal à 0 ne peut pas servir de dénominateur, qui ne peut jamais être 0.
Où utilise-t-on le PPCM ?
Dans les problèmes de cycles, comme celui des bus, le PPCM indique quand deux événements qui se répètent coïncident. Avec des fractions, le PPCM des dénominateurs est le plus petit dénominateur commun : pour 3/10 + 1/4, PPCM(10, 4) = 20, et la somme devient 6/20 + 5/20 = 11/20. La calculatrice de plus petit dénominateur commun fait directement cette réécriture, et l’addition de fractions l’applique à des dénominateurs différents. Pourquoi on n’additionne pas les dénominateurs en explique la raison.
Le PPCM sert aussi à transformer une fraction en une fraction égale avec un dénominateur donné. Ce procédé, qui revient à multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre, est expliqué dans fractions équivalentes ; l’inverse, simplifier, utilise le PGCD. Pour comparer deux fractions sans chercher de dénominateur commun, comparer des fractions montre le produit en croix. Si vous avez besoin des facteurs de chaque nombre, utilisez la décomposition en facteurs premiers. OpenStax présente le PPCM par liste de multiples et par facteurs premiers (en anglais).
Paires fréquentes : PPCM et PGCD ensemble
Le tableau réunit les paires les plus consultées, avec le PPCM et le PGCD de chacune.
| Nombres | PPCM | PGCD |
|---|---|---|
| 4 et 6 | 12 | 2 |
| 6 et 9 | 18 | 3 |
| 8 et 12 | 24 | 4 |
| 9 et 12 | 36 | 3 |
| 10 et 15 | 30 | 5 |
| 12 et 16 | 48 | 4 |
| 12 et 18 | 36 | 6 |
| 14 et 21 | 42 | 7 |
| 15 et 20 | 60 | 5 |
| 18 et 24 | 72 | 6 |
| 20 et 30 | 60 | 10 |
| 7 et 9 | 63 | 1 |
Quand le PGCD vaut 1, le PPCM est le produit, comme pour 7 et 9. Sur les autres lignes, il est plus petit que le produit, et plus le PGCD est grand, plus le PPCM est petit par rapport à lui.
Questions fréquentes
Comment savoir si un problème demande le PPCM ou le PGCD ?
Demandez-vous ce que l'on cherche. Si quelque chose se répète et que vous voulez savoir quand cela coïncide, ou s'il faut un nombre que tous atteignent, c'est le PPCM. S'il faut partager ou découper en parts égales les plus grandes possible, c'est le PGCD. Le guide sur la différence et les problèmes corrigés entraînent ce choix.
PGCD × PPCM est-il toujours égal au produit des nombres ?
Seulement avec deux nombres. Pour 10 et 35, le PGCD est 5 et le PPCM est 70, et 5 × 70 = 350 = 10 × 35. Avec trois nombres ou plus, ce n'est plus vrai en général : pour 9, 15 et 21, le PGCD est 3 et le PPCM est 315, et 3 × 315 = 945, alors que 9 × 15 × 21 = 2 835.
Quel est le PPCM de deux nombres premiers distincts ?
C'est leur produit : PPCM(11, 13) = 143. L'exception apparaît quand l'un est premier et que l'autre en est un multiple, car ils partagent alors ce nombre premier et le PPCM est le plus grand des deux : PPCM(11, 33) = 33. Pour reconnaître les nombres premiers, utilisez la calculatrice de décomposition en facteurs premiers.