Gib die Zahlen ins Feld ein, eine pro Zeile, und wähle „Berechnen“. Die erste Zeile des Ergebnisses nennt das kgV, darunter steht die paarweise Rechnung mit dem ggT jedes Schritts. Bei 12 und 18 siehst du ggT(12, 18) = 6 und kgV = |(12 / 6) × 18| = 36. Bei zwei Zahlen ist diese Zeile das gemeinsame Ergebnis von ggT und kgV; brauchst du nur den Teiler, gibt es den ggT-Rechner, und mit Brüchen zeigt der Rechner für den kleinsten gemeinsamen Nenner die Brüche gleich umgeformt.
Rechenbeispiel: zwei Busse, die sich treffen
Ein Bus fährt alle 12 Minuten an der Haltestelle ab, ein anderer alle 18 Minuten. Beide fahren um 8:00 Uhr gemeinsam los. Wann fahren sie wieder gleichzeitig ab?
- Bestimme den ggT. ggT(12, 18) = 6.
- Teile eine Zahl durch den ggT. 12 ÷ 6 = 2.
- Multipliziere mit der anderen. 2 × 18 = 36.
Ergebnis: kgV(12, 18) = 36, also fahren sie um 8:36 Uhr wieder gemeinsam ab.
Probe: 36 ÷ 12 = 3 und 36 ÷ 18 = 2 gehen auf, und keine Zahl unter 36 ist durch beide teilbar.
Es wird erst geteilt und dann multipliziert, damit man mit kleineren Zahlen rechnet. 12 × 18 = 216 und danach durch 6 zu teilen führt zum selben Ergebnis, aber mit größeren Ziffern.
Drei Wege, das kgV von Hand zu bestimmen
Jeder Weg passt zu einer anderen Situation. Damit man sieht, dass sie dasselbe Ergebnis liefern, nutzt hier jeder ein anderes Zahlenpaar.
| Weg | Wann er sich lohnt | Beispiel |
|---|---|---|
| Vielfachenmengen | Kleine Zahlen | 4 und 6: 4, 8, 12 und 6, 12; kgV = 12 |
| Primfaktoren | Wenn die Zerlegung schon vorliegt | 18 = 2 × 3² und 24 = 2³ × 3; kgV = 2³ × 3² = 72 |
| Formel mit dem ggT | Große Zahlen | 28 und 42: ggT = 14; (28 ÷ 14) × 42 = 84 |
Die Vielfachenmenge endet bei der ersten Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. Bei den Primfaktoren nimmt man jede Primzahl mit ihrem größten Exponenten; das kgV ist ein Vielfaches jeder Zahl und deshalb nie kleiner als die größte. Hier kommt die Formel zum Einsatz, die ohne Zerlegen auskommt.
kgV(4, 6) = 12
Drei Zahlen oder mehr
Man rechnet zwei Zahlen auf einmal und nimmt jeweils das bisherige Ergebnis mit. Für 8, 12 und 20 gilt: kgV(8, 12) = 24 und danach kgV(24, 20) = 120. Das Ergebnis ist durch jede Zahl der Liste teilbar, wie 120 ÷ 8 = 15, 120 ÷ 12 = 10 und 120 ÷ 20 = 6 bestätigen. Ins Feld passen bis zu 20 ganze Zahlen mit jeweils höchstens 100 Ziffern.
Sonderfälle, die du kennen solltest
| Fall | Beispiel | Was passiert |
|---|---|---|
| Kein gemeinsamer Teiler | kgV(5, 8) = 40 | Es ist das Produkt 5 × 8 |
| Eine Zahl ist Vielfaches der anderen | kgV(3, 12) = 12 | Es ist die größere der beiden |
| Eine der Zahlen ist 1 | kgV(9, 1) = 9 | Es ist die andere Zahl |
| Eine negative Zahl | kgV(−6, 8) = 24 | Man nimmt den Betrag |
| Eine Null | kgV(0, 8) = 0 | Konvention: Das einzige Vielfache von 0 ist 0 |
Die Null ist der einzige Fall, der nicht zu „kleinstes positives Vielfaches“ passt, weil es kein gemeinsames positives Vielfaches gibt. Deshalb taugt ein kgV von 0 nicht als Nenner, denn ein Nenner ist nie 0.
Wo man das kgV braucht
Bei Aufgaben mit wiederkehrenden Abläufen, etwa den Bussen, sagt das kgV, wann zwei Ereignisse zusammentreffen. Bei Brüchen ist das kgV der Nenner der Hauptnenner: Für 3/10 + 1/4 ist kgV(10, 4) = 20, und die Summe wird 6/20 + 5/20 = 11/20. Der Rechner für den kleinsten gemeinsamen Nenner nimmt diese Umformung direkt vor, und Brüche addieren wendet sie auf ungleichnamige Brüche an. Warum man Nenner nicht addiert erklärt den Grund.
Das kgV hilft auch, einen Bruch auf einen vorgegebenen Nenner zu bringen. Dieser Vorgang heißt Erweitern und steht bei den gleichwertigen Brüchen; das Gegenstück, das Kürzen, benutzt den ggT. Wer zwei Brüche vergleichen will, ohne einen gemeinsamen Nenner zu suchen, findet bei Brüche vergleichen das Überkreuzmultiplizieren. Brauchst du die Faktoren jeder Zahl, nutze die Primfaktorzerlegung. OpenStax stellt das kgV über Vielfache und Primfaktoren auf Englisch vor.
Häufige Paare: kgV und ggT zusammen
Die Tabelle versammelt die am häufigsten gesuchten Paare mit kgV und ggT.
| Zahlen | kgV | ggT |
|---|---|---|
| 4 und 6 | 12 | 2 |
| 6 und 9 | 18 | 3 |
| 8 und 12 | 24 | 4 |
| 9 und 12 | 36 | 3 |
| 10 und 15 | 30 | 5 |
| 12 und 16 | 48 | 4 |
| 12 und 18 | 36 | 6 |
| 14 und 21 | 42 | 7 |
| 15 und 20 | 60 | 5 |
| 18 und 24 | 72 | 6 |
| 20 und 30 | 60 | 10 |
| 7 und 9 | 63 | 1 |
Ist der ggT 1, ist das kgV das Produkt, wie bei 7 und 9. In den übrigen Zeilen ist das kgV kleiner als das Produkt, und je größer der ggT, desto kleiner fällt das kgV im Vergleich dazu aus.
Häufige Fragen
Woran erkenne ich, ob eine Aufgabe das kgV oder den ggT verlangt?
Frag dich, was gesucht ist. Wiederholt sich etwas und du willst wissen, wann es zusammentrifft, oder brauchst du eine Zahl, die alle erreichen, ist es das kgV. Soll etwas in möglichst große gleiche Teile verteilt oder zerschnitten werden, ist es der ggT. Der Ratgeber zum Unterschied und die Sachaufgaben üben genau diese Entscheidung.
Ist ggT × kgV immer gleich dem Produkt der Zahlen?
Nur bei zwei Zahlen. Für 10 und 35 ist der ggT 5 und das kgV 70, und 5 × 70 = 350 = 10 × 35. Bei drei oder mehr Zahlen gilt das im Allgemeinen nicht mehr: Für 9, 15 und 21 ist der ggT 3 und das kgV 315, und 3 × 315 = 945, während 9 × 15 × 21 = 2835 ist.
Wie groß ist das kgV zweier verschiedener Primzahlen?
Es ist ihr Produkt: kgV(11, 13) = 143. Die Ausnahme tritt auf, wenn die eine Zahl eine Primzahl und die andere ein Vielfaches davon ist: Dann haben sie diese Primzahl gemeinsam, und das kgV ist die größere Zahl, kgV(11, 33) = 33. Primzahlen erkennst du mit dem Rechner für die Primfaktorzerlegung.